人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版
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6. 如图，在等边三角形ABC中，P是线段AB上的动点（与点A，B不重合），点D在CB的延长线上，且PC = PD.
(1) 如图（1），若P是AB的中点，求证BD = AP.
(2) 如图（2），若P不是AB的中点，（1）中的结论“BD = AP”是否成立？若不成立，请直接写出BD与AP的数量关系；若成立，请证明.
答案：(1) 证明：因为\triangle ABC是等边三角形，所以\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}，AB = BC. 因为P是AB中点，所以\angle BCP=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}，AP = BP. 又因为PC = PD，所以\angle D=\angle BCP = 30^{\circ}. 因为\angle ABC=\angle D+\angle BPD，所以\angle BPD = 30^{\circ}，所以\angle D=\angle BPD，所以BD = BP，所以BD = AP.
(2) 结论成立. 证明：过点P作PF\parallel BC交AC于点F. 因为PF\parallel BC，所以\angle APF=\angle ABC，\angle AFP=\angle ACB. 因为\triangle ABC是等边三角形，所以\angle ABC=\angle ACB=\angle A = 60^{\circ}，AB = AC. 所以\angle APF=\angle AFP=\angle A = 60^{\circ}，所以\triangle APF是等边三角形，所以AP = PF，\angle PFC = 120^{\circ}，\angle DPB=120^{\circ}. 因为\angle D+\angle BPD=\angle FCP+\angle PCF = 60^{\circ}，且\angle BPD=\angle PCF，PC = PD，\angle DPB=\angle PFC，所以\triangle DPB\cong\triangle PCF(AAS)，所以PB = PF，所以AP = BD.
1. 如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地. 在下列四种选择饮马处的方案中，牧马人所走路径最短的是（ ）
答案：D（根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知，作点P关于直线l的对称点P'，连接P'Q与直线l的交点即为使路径最短的饮马点，符合此条件的是D选项）
2. 如图，已知点A和点B在直线l同一侧. 求作：直线l上一点Q，使QA + QB的值最小.
答案：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点Q，点Q即为所求（原理是根据轴对称的性质，QA = QA'，此时QA + QB=A'B，根据两点之间线段最短，A'B为最小值）
3. 如图，在\triangle ABC中，AB = AC，BC = 6，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F. 若D为边BC的中点，M为线段EF上一个动点，则\triangle CDM周长的最小值为（ ）
答案：连接AD，因为AB = AC，D是BC中点，所以AD\perp BC，根据三角形面积公式S=\frac{1}{2}BC\cdot AD，可得\frac{1}{2}\times6\times AD = 30，解得AD = 10. 因为EF是AC的垂直平分线，所以MA = MC，所以\triangle CDM的周长=CD + DM+MC=CD + DM + MA. 当A，M，D三点共线时，DM + MA的值最小，最小值为AD的长. 因为CD=\frac{1}{2}BC = 3，所以\triangle CDM周长的最小值为3 + 10=13.
