人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版
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2. 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，$\angle1 + \angle2 = ( )$.
A. $270^{\circ}$ B. $240^{\circ}$ C. $170^{\circ}$ D. $120^{\circ}$
答案：设等边三角形的三个内角为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$，则$\angle A=\angle B = \angle C=60^{\circ}$。根据四边形内角和为$360^{\circ}$，在剪去一个角后的四边形中，$\angle1 + \angle2+\angle B + \angle C=360^{\circ}$，所以$\angle1 + \angle2=360^{\circ}-(\angle B + \angle C)=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$，答案选B。
3. 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$BC$上，把$\triangle BDE$沿直线$DE$翻折，使点$B$落在点$B'$处，$DB'$，$EB'$分别交边$AC$于点$F$，$G$。如果测得$\angle GEC = 34^{\circ}$，那么$\angle ADF =$
答案：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}$。在$\triangle GEC$中，$\angle EGC=180^{\circ}-\angle C - \angle GEC=180^{\circ}-60^{\circ}-34^{\circ}=86^{\circ}$，则$\angle B'GF = \angle EGC = 86^{\circ}$。在四边形$BFDG$中，$\angle B'=\angle B = 60^{\circ}$，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle B'DF+\angle B'GF=360^{\circ}-\angle B'-\angle B=360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=240^{\circ}$。又因为$\angle B'DF + \angle ADF = 180^{\circ}$，$\angle B'GF+\angle EGC = 180^{\circ}$，所以$\angle ADF=\angle GEC = 34^{\circ}$。
4. 如图，在等边三角形$ABC$中，$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线相交于点$P$，且$PD \parallel AB$，$PE \parallel AC$。
(1) 求证：$\triangle PDE$是等边三角形.
(2) 线段$BD$，$DE$，$EC$三者之间有什么数量关系？请说明理由.
答案：(1) 因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$。因为$BP$平分$\angle ABC$，$CP$平分$\angle ACB$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。因为$PD\parallel AB$，所以$\angle BPD=\angle ABP = 30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），则$\angle DPE=180^{\circ}-\angle BPC=180^{\circ}-(180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}) = 60^{\circ}$。同理，因为$PE\parallel AC$，所以$\angle CPE=\angle ACP = 30^{\circ}$，$\angle PDE = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle PED=\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\triangle PDE$是等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形）。
(2) $BD = DE = EC$。理由：因为$PD\parallel AB$，$PE\parallel AC$，所以四边形$ADPE$是平行四边形，$\angle BDP=\angle BPD = 30^{\circ}$，$\angle CEP=\angle CPE = 30^{\circ}$，所以$BD = PD$，$EC = PE$，又因为$\triangle PDE$是等边三角形，所以$PD = DE = PE$，所以$BD = DE = EC$。
5. 如图，等边三角形$ABC$的三个顶点都在坐标轴上，$A(-2,0)$，过点$B$作$BD\perp AB$，垂线$BD$交$x$轴于点$D$，则点$D$的坐标为（ ）.
A. $(8,0)$ B. $(6,0)$ C. $(5,0)$ D. $(4,0)$
答案：因为$\triangle ABC$是等边三角形，$A(-2,0)$，所以$OA = 2$，$AB = AC = BC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。因为$BD\perp AB$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle OBD=\angle ABD - \angle ABO=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。在$Rt\triangle ABO$中，$AB = 2OA = 4$。在$Rt\triangle ABD$中，$AD = 2AB = 8$，则$OD=AD - OA=8 - 2=6$，所以点$D$的坐标为$(6,0)$，答案选B。
6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = AC = 12\text{ cm}$，现有点$P$，$Q$分别从点$A$，$B$同时出发，沿三角形的边运动，已知点$P$的速度为$1\text{ cm/s}$，点$Q$的速度为$2\text{ cm/s}$。当点$Q$第一次回到点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动.
(1) 点$P$，$Q$运动多少秒时，$P$，$Q$两点重合？
(2) 点$P$，$Q$运动多少秒时，可得到等边三角形$APQ$？
答案：(1) 设点$P$，$Q$运动$t$秒时，$P$，$Q$两点重合。点$Q$运动的路程比点$P$运动的路程多$12\text{ cm}$，则$2t-t = 12$，解得$t = 12$，即点$P$，$Q$运动$12$秒时，$P$，$Q$两点重合。
(2) 设运动$x$秒时，$\triangle APQ$是等边三角形，则$AP = x\text{ cm}$，$BQ = 2x\text{ cm}$，$AQ=(12 - 2x)\text{ cm}$。因为$\triangle APQ$是等边三角形，所以$AP = AQ$，即$x = 12 - 2x$，$3x = 12$，解得$x = 4$，所以点$P$，$Q$运动$4$秒时，可得到等边三角形$APQ$。
