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1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $2x - 3 = 0$
B. $x^2 - 2y = 0$
C. $x^2 + \frac{1}{x} = - 3$
D. $x^2 = 0$
A. $2x - 3 = 0$
B. $x^2 - 2y = 0$
C. $x^2 + \frac{1}{x} = - 3$
D. $x^2 = 0$
答案：
D
解析：一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程。A是一元一次方程；B含两个未知数；C不是整式方程；D符合定义，故选D。
解析：一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程。A是一元一次方程；B含两个未知数；C不是整式方程；D符合定义，故选D。
2.方程$3x^2 + 1 = 6x$的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 3和6
B. 3和-6
C. 3和-1
D. 3和1
A. 3和6
B. 3和-6
C. 3和-1
D. 3和1
答案：
B
解析：将方程化为一般形式$3x^2 - 6x + 1 = 0$，二次项系数为3，一次项系数为-6，故选B。
解析：将方程化为一般形式$3x^2 - 6x + 1 = 0$，二次项系数为3，一次项系数为-6，故选B。
3.如果关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$有一个根是0，那么$a$的值是（ ）
A. 1或-1
B. 1
C. -1
D. 0
A. 1或-1
B. 1
C. -1
D. 0
答案：
C
解析：把$x = 0$代入方程得$a^2 - 1 = 0$，解得$a = ±1$。又因方程是一元二次方程，$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$，所以$a = -1$，故选C。
解析：把$x = 0$代入方程得$a^2 - 1 = 0$，解得$a = ±1$。又因方程是一元二次方程，$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$，所以$a = -1$，故选C。
4.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 2(k + 1)x + k - 1 = 0$有两个实数根，则实数$k$的取值范围为（ ）
A. $k ＞ -\frac{1}{3}$
B. $k ≥ -\frac{1}{3}$
C. $k ≥ -\frac{1}{3}$且$k ≠ 0$
D. $k ≤ -\frac{1}{3}$
A. $k ＞ -\frac{1}{3}$
B. $k ≥ -\frac{1}{3}$
C. $k ≥ -\frac{1}{3}$且$k ≠ 0$
D. $k ≤ -\frac{1}{3}$
答案：
C
解析：方程有两个实数根，需满足$k ≠ 0$且$\Delta = [2(k + 1)]^2 - 4k(k - 1) ≥ 0$。计算$\Delta = 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 + 4k = 12k + 4 ≥ 0$，解得$k ≥ -\frac{1}{3}$，综上$k ≥ -\frac{1}{3}$且$k ≠ 0$，故选C。
解析：方程有两个实数根，需满足$k ≠ 0$且$\Delta = [2(k + 1)]^2 - 4k(k - 1) ≥ 0$。计算$\Delta = 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 + 4k = 12k + 4 ≥ 0$，解得$k ≥ -\frac{1}{3}$，综上$k ≥ -\frac{1}{3}$且$k ≠ 0$，故选C。
5.实数$x,y$满足$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + 1) = 2$，则$x^2 + y^2$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. -2或1
D. 2或-1
A. 1
B. 2
C. -2或1
D. 2或-1
答案：
A
解析：设$t = x^2 + y^2(t ≥ 0)$，方程化为$t(t + 1) = 2$，即$t^2 + t - 2 = 0$，解得$t = 1$或$t = -2$（舍去），所以$x^2 + y^2 = 1$，故选A。
解析：设$t = x^2 + y^2(t ≥ 0)$，方程化为$t(t + 1) = 2$，即$t^2 + t - 2 = 0$，解得$t = 1$或$t = -2$（舍去），所以$x^2 + y^2 = 1$，故选A。
6.近日“知感冒·防流感”全民科普公益活动在某市拉开帷幕.经调研，有1个人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感.若每轮传染中平均1个人传染$m$人，则$m$的值为（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
答案：
C
解析：第一轮传染后患病数为$1 + m$，第二轮为$(1 + m)m + (1 + m) = (1 + m)^2$。由$(1 + m)^2 = 169$，解得$m = 12$（$m = -14$舍去），故选C。
解析：第一轮传染后患病数为$1 + m$，第二轮为$(1 + m)m + (1 + m) = (1 + m)^2$。由$(1 + m)^2 = 169$，解得$m = 12$（$m = -14$舍去），故选C。
7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 10x + m = 0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $\sqrt{14}$
D. $2\sqrt{14}$
A. $\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $\sqrt{14}$
D. $2\sqrt{14}$
答案：
C
解析：设对角线长为$d_1,d_2$，则$d_1 + d_2 = 10$，$\frac{1}{2}d_1d_2 = 11$即$d_1d_2 = 22$。菱形边长为$\sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 - 44} = \sqrt{14}$，故选C。
解析：设对角线长为$d_1,d_2$，则$d_1 + d_2 = 10$，$\frac{1}{2}d_1d_2 = 11$即$d_1d_2 = 22$。菱形边长为$\sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 - 44} = \sqrt{14}$，故选C。
8.2022年秋季某市实验中学为落实教育部“双减”政策，投入资金14800元用于学生课外活动器材购置，并规划投入资金逐年增加，预计2024年在2022年的基础上增加投入资金20000元.若设从2022年到2024年实验中学投入购置课外活动器材资金的年平均增长率为$x$，则下列方程正确的是（ ）
A. $14800(1 + x)^2 = 20000$
B. $14800(1 + 2x) = 34800$
C. $14800(1 + x)^2 = 34800$
D. $14800(1 + x) + 14800(1 + x)^2 = 34800$
A. $14800(1 + x)^2 = 20000$
B. $14800(1 + 2x) = 34800$
C. $14800(1 + x)^2 = 34800$
D. $14800(1 + x) + 14800(1 + x)^2 = 34800$
答案：
C
解析：2024年总投入为$14800 + 20000 = 34800$元，年平均增长率为$x$，则2024年投入为$14800(1 + x)^2 = 34800$，故选C。
解析：2024年总投入为$14800 + 20000 = 34800$元，年平均增长率为$x$，则2024年投入为$14800(1 + x)^2 = 34800$，故选C。
9.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为$570m^2$.若设道路的宽为$x$m，则下列方程正确的是（ ）
A. $(32 - 2x)(20 - x) = 570$
B. $32x + 2×20x = 32×20 - 570$
C. $(32 - x)(20 - x) = 32×20 - 570$
D. $32x + 2×20x - x^2 = 570$
A. $(32 - 2x)(20 - x) = 570$
B. $32x + 2×20x = 32×20 - 570$
C. $(32 - x)(20 - x) = 32×20 - 570$
D. $32x + 2×20x - x^2 = 570$
答案：
A
解析：将道路平移后，草坪可看作长$(32 - 2x)$m，宽$(20 - x)$m的矩形，面积为$(32 - 2x)(20 - x) = 570$，故选A。
解析：将道路平移后，草坪可看作长$(32 - 2x)$m，宽$(20 - x)$m的矩形，面积为$(32 - 2x)(20 - x) = 570$，故选A。
10.对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”.例如：四位数2156，因为$2×6 = 2×(1 + 5)$，所以2156是“共生数”.有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”的个位上的数字为（ ）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
答案：
B
解析：设个位数字为$a$，则千位数字为$a$，百位数字为$a + 3$，十位数字为$\frac{a}{2} - 1$。由“共生数”定义得$a×a = 2[(a + 3) + (\frac{a}{2} - 1)]$，化简得$a^2 - 3a - 4 = 0$，解得$a = 4$（$a = -1$舍去），故选B。
解析：设个位数字为$a$，则千位数字为$a$，百位数字为$a + 3$，十位数字为$\frac{a}{2} - 1$。由“共生数”定义得$a×a = 2[(a + 3) + (\frac{a}{2} - 1)]$，化简得$a^2 - 3a - 4 = 0$，解得$a = 4$（$a = -1$舍去），故选B。
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