20．解：⑴ ∵　

∴　 由题意

　　　 ……①　　　　　　 3分

∵有极值，∴方程有两个不等实根．

　 ……②

由①、②可得，．　

故实数a的取值范围是　　　　 6分

⑵存在，　　　　　 7分

由⑴可知，令，

x		x1		x2
	+	0	－	0	+
	单调增	极大值	单调减	极小值	单调增

时，取极小值，　 9分

则,　 或，

若，即，则(舍)　　 　11分

若，又，,

,　 ,

　　 ,

∴存在实数a =，使得函数的极小值为1．　　 14分

19．解：⑴ 当时，有，是偶函数

　　　　　 　　　2分

　　　　　 由得，

　　　　　 又得，　　 5分

　　　　　 　　　　　6分

⑵ 当时，有，

　 任取且

　 　　　8分

　 ，　 即

　 在上是减函数.　　　 10分

⑶ 由于在上是减函数，在上是减函数　　

当时，有，

当时，有，

当时，有，　　　 13分

当时，方程在上有实数解.　　 14分

18．解：⑴

　　　　　　 解得.(或利用对称性求解)　　　　　 3分

⑵ 由⑴，

.　　　　　　 7分

⑶

　 9分

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

的取值范围是：.　　　　　　　　　　 14分

17．解：⑴ 当时，，　 1分

　　　　　 当时，，，　 2分

　　　　　　　　 是以为首项，以为公比的等比数列.　 　　4分

　　　　　 由于，　 5分

　　　　　　　　 是以为首项，以为公差的等差数列.　 　　7分

⑵ 由⑴知：，　 9分

　 现在只要证明：当时，，用数学归纳法证明：

　 (I)当时，有左边=，右边=，不等式成立　 10分

(II)假设当时，不等式成立，即，

　　 那么当时，有

　　　 当时，恒有成立，

　　　　　 即

　　　 当时，不等式也成立　　 13分

由(I)、(II)知，当时， 有.　　 14分

16．解：⑴ 由于

　　　　　　　 　　　3分

　　　 3分

　　　　　　　　 　　7分

⑵ 　　　9分

　 由得： ， 　　　12分

　 　　14分

15．解：⑴由于，　　　 3分

　　　　　　　　 由得，，　 6分 　　7分

⑵

　 　　　10分 　　12分 　14分

11．　　　 12．　　 13．　 　　　14．　

20．

三山高级中学高三理科第一次月考数学卷参考答案

19．

18．