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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 6$，$∠ B = 30^{\circ}$，$\tan∠ ACB = \frac{3}{2}$。求边$AC$的长。
答案：
1.解:如答图，过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵AB=6,∠B=30°,AH⊥BC,
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵tan∠ACB=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{3}{2}$,
∴CH=2,
∴AC=$\sqrt{3^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{13}$
1.解:如答图，过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵AB=6,∠B=30°,AH⊥BC,
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵tan∠ACB=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{3}{2}$,
∴CH=2,
∴AC=$\sqrt{3^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{13}$
2. 如图，在$△ ABC$中，$\sin A = \frac{3}{5}$，$\tan B = \frac{1}{3}$，$BC = 3\sqrt{10}$，求$AC$的长。
答案：
2.解:如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵tanB=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{1}{3}$,设CD=x(x＞0),则DB=3x.
∵BC=3$\sqrt{10}$,
∴x²+(3x)²=(3$\sqrt{10}$)²,解得x=3,
∴CD=3.
在Rt△ACD中,sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
即$\frac{3}{AC}$=$\frac{3}{5}$,解得AC=5.
2.解:如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵tanB=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{1}{3}$,设CD=x(x＞0),则DB=3x.
∵BC=3$\sqrt{10}$,
∴x²+(3x)²=(3$\sqrt{10}$)²,解得x=3,
∴CD=3.
在Rt△ACD中,sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
即$\frac{3}{AC}$=$\frac{3}{5}$,解得AC=5.
3. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$BD⊥ AC$于点$D$。若$AD:CD = 4:1$，求$\sin A$，$\tan A$的值。
答案：
3.解:
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴∠CDB=∠ADB,∠C+∠CBD=∠CBD+∠ABD,
∴∠C=∠ABD,
∴Rt△CDB∽Rt△BDA,
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{DA}$,
∴BD²=CD·DA.
∵AD:CD=4:1,
∴设CD=k,则AD=4k,
∴BD=2k,从而AB=2$\sqrt{5}$k,
∴sinA=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2k}{2\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴∠CDB=∠ADB,∠C+∠CBD=∠CBD+∠ABD,
∴∠C=∠ABD,
∴Rt△CDB∽Rt△BDA,
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{DA}$,
∴BD²=CD·DA.
∵AD:CD=4:1,
∴设CD=k,则AD=4k,
∴BD=2k,从而AB=2$\sqrt{5}$k,
∴sinA=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2k}{2\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$.
4. 在锐角$△ ABC$中，$AB = 15$，$BC = 14$，$S_{△ ABC} = 84$，求$\cos C$，$\sin A$的值。
答案：
4.解:如答图，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=84,
∴$\frac{1}{2}$×14×AD=84,
解得AD=12.
又
∵AB=15,
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=9,
∴CD=CB−BD=14−9=5.
在Rt△ADC中,AC=$\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}$=13,
∴cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{5}{13}$.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·EB=84,
∴BE=$\frac{168}{13}$,
∴sin∠BAC=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{168}{13}}{15}$=$\frac{56}{65}$.
4.解:如答图，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=84,
∴$\frac{1}{2}$×14×AD=84,
解得AD=12.
又
∵AB=15,
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=9,
∴CD=CB−BD=14−9=5.
在Rt△ADC中,AC=$\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}$=13,
∴cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{5}{13}$.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·EB=84,
∴BE=$\frac{168}{13}$,
∴sin∠BAC=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{168}{13}}{15}$=$\frac{56}{65}$.
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