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1. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 的图像经过点 $ A(2,-3) $，$ B(-1,0) $。求该二次函数的表达式。
答案：
1. 解: 由题意, 得 $\{\begin{array}{l}4 a+2 b-3=-3, \\ a-b-3=0,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=-2,\end{array} $
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=x^{2}-2 x-3$.
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=x^{2}-2 x-3$.
2. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点坐标为 $ (3,0) $，且经过点 $ (4,2) $，求该抛物线的函数表达式。
答案：
2. 解: $\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 的顶点坐标为 $(3,0)$,
$\therefore$ 其函数表达式为 $y=a(x-3)^{2}$.
$\because$ 该抛物线经过点 $(4,2)$,
$\therefore 2=a(4-3)^{2}$, 解得 $a=2$,
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为 $y=2(x-3)^{2}$,
即 $y=2 x^{2}-12 x+18$.
$\therefore$ 其函数表达式为 $y=a(x-3)^{2}$.
$\because$ 该抛物线经过点 $(4,2)$,
$\therefore 2=a(4-3)^{2}$, 解得 $a=2$,
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为 $y=2(x-3)^{2}$,
即 $y=2 x^{2}-12 x+18$.
3. 已知抛物线经过点 $ A(-2,0) $，$ B(-1,0) $，$ C(0,2) $，求该抛物线的函数表达式。
答案：
3. 解: $\because$ 抛物线经过点 $A(-2,0), B(-1,0)$,
$\therefore$ 可设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+2)(x+1)$.
把点 $C(0,2)$ 代入上式, 解得 $a=1$,
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=x^{2}+3 x+2$.
$\therefore$ 可设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+2)(x+1)$.
把点 $C(0,2)$ 代入上式, 解得 $a=1$,
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=x^{2}+3 x+2$.
4. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ A(1,-4) $，$ B(-1,0) $，$ C(-2,5) $ 三点，求该抛物线的函数表达式。
答案：
解：已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$经过$A(1,-4)$，$B(-1,0)$，$C(-2,5)$三点，将三点代入抛物线方程可得：
$\begin{cases}a + b + c = -4&(1)\\a - b + c = 0&(2)\\4a - 2b + c = 5&(3)\end{cases}$
$(1)-(2)$得：
$\begin{aligned}(a + b + c)-(a - b + c)&=-4 - 0\\a + b + c - a + b - c&=-4\\2b&=-4\\b&=-2\end{aligned}$
把$b = -2$代入$(1)$得：$a - 2 + c = -4$，即$a + c = -2$ $(4)$
把$b = -2$代入$(3)$得：$4a + 4 + c = 5$，即$4a + c = 1$ $(5)$
$(5)-(4)$得：
$\begin{aligned}(4a + c)-(a + c)&=1-(-2)\\4a + c - a - c&=3\\3a&=3\\a&=1\end{aligned}$
把$a = 1$代入$(4)$得：$1 + c = -2$，$c = -3$
所以抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。
$\begin{cases}a + b + c = -4&(1)\\a - b + c = 0&(2)\\4a - 2b + c = 5&(3)\end{cases}$
$(1)-(2)$得：
$\begin{aligned}(a + b + c)-(a - b + c)&=-4 - 0\\a + b + c - a + b - c&=-4\\2b&=-4\\b&=-2\end{aligned}$
把$b = -2$代入$(1)$得：$a - 2 + c = -4$，即$a + c = -2$ $(4)$
把$b = -2$代入$(3)$得：$4a + 4 + c = 5$，即$4a + c = 1$ $(5)$
$(5)-(4)$得：
$\begin{aligned}(4a + c)-(a + c)&=1-(-2)\\4a + c - a - c&=3\\3a&=3\\a&=1\end{aligned}$
把$a = 1$代入$(4)$得：$1 + c = -2$，$c = -3$
所以抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。
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