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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 24 $，$ AB = 25 $，计算：$ \tan A · \tan B - 1 $。
答案：
解:在$Rt△ ABC$中,由勾股定理,得$BC=7$,
$\therefore \tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {7}{24}$,$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {24}{7}$,
$\therefore$原式$=\frac {7}{24}×\frac {24}{7}-1=0$.
$\therefore \tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {7}{24}$,$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {24}{7}$,
$\therefore$原式$=\frac {7}{24}×\frac {24}{7}-1=0$.
2. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ A = 90^{\circ} $，$ BC $ 的垂直平分线交 $ AC $ 于点 $ D $，交 $ BC $ 于点 $ E $。若 $ AD = \frac{1}{3}BD $，求 $ \tan ∠ ABC $ 的值。
答案：
解:设$AD=x$,则$BD=3x$.
$\because DE$垂直平分$BC$,$\therefore BD=CD$,
$\therefore AC=AD+CD=4x$,
在$Rt△ ABD$中,$AB=\sqrt {BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt {(3x)^{2}-x^{2}}=2\sqrt {2}x$,
$\therefore \tan ∠ ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {4x}{2\sqrt {2}x}=\sqrt {2}$.
$\because DE$垂直平分$BC$,$\therefore BD=CD$,
$\therefore AC=AD+CD=4x$,
在$Rt△ ABD$中,$AB=\sqrt {BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt {(3x)^{2}-x^{2}}=2\sqrt {2}x$,
$\therefore \tan ∠ ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {4x}{2\sqrt {2}x}=\sqrt {2}$.
3. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = BC = 15 $，$ \tan ∠ ABC = \frac{3}{4} $，求边 $ AC $ 的长。
答案：
解:如答图,过点$A$作$AE⊥ BC$,垂足为$E$.
$\because$在$Rt△ ABE$中,$\tan ∠ ABC=\frac {AE}{BE}=\frac {3}{4}$,$AB=15$,
$\therefore AE=9$,$BE=12$,$\therefore CE=BC-BE=15-12=3$.
在$Rt△ AEC$中,根据勾股定理,得$AC=\sqrt {AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt {9^{2}+3^{2}}=3\sqrt {10}$.
解:如答图,过点$A$作$AE⊥ BC$,垂足为$E$.
$\because$在$Rt△ ABE$中,$\tan ∠ ABC=\frac {AE}{BE}=\frac {3}{4}$,$AB=15$,
$\therefore AE=9$,$BE=12$,$\therefore CE=BC-BE=15-12=3$.
在$Rt△ AEC$中,根据勾股定理,得$AC=\sqrt {AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt {9^{2}+3^{2}}=3\sqrt {10}$.
4. 如图，在正方形 $ ABCD $ 外作等腰直角 $ △ CDE $，$ DE = CE $，连接 $ BE $，求 $ ∠ EBC $ 的正切值。
答案：
解:过点$E$作$EF⊥ BC$,交$BC$的延长线于点$F$,如答图,设$DE=CE=a$.
$\because △ CDE$为等腰直角三角形,
$\therefore CD=\sqrt {2}CE=\sqrt {2}a$,$∠ DCE=45^{\circ }$.
$\because$四边形$ABCD$为正方形,$\therefore CB=CD=\sqrt {2}a$,$∠ BCD=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ECF=45^{\circ }$,
$\therefore △ CEF$为等腰直角三角形,$\therefore CF=EF=\frac {\sqrt {2}}{2}CE=\frac {\sqrt {2}}{2}a$.
在$Rt△ BEF$中,$\tan ∠ EBF=\frac {EF}{BF}=\frac {\frac {\sqrt {2}}{2}a}{\sqrt {2}a+\frac {\sqrt {2}}{2}a}=\frac {1}{3}$,即$\tan ∠ EBC=\frac {1}{3}$.
解:过点$E$作$EF⊥ BC$,交$BC$的延长线于点$F$,如答图,设$DE=CE=a$.
$\because △ CDE$为等腰直角三角形,
$\therefore CD=\sqrt {2}CE=\sqrt {2}a$,$∠ DCE=45^{\circ }$.
$\because$四边形$ABCD$为正方形,$\therefore CB=CD=\sqrt {2}a$,$∠ BCD=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ECF=45^{\circ }$,
$\therefore △ CEF$为等腰直角三角形,$\therefore CF=EF=\frac {\sqrt {2}}{2}CE=\frac {\sqrt {2}}{2}a$.
在$Rt△ BEF$中,$\tan ∠ EBF=\frac {EF}{BF}=\frac {\frac {\sqrt {2}}{2}a}{\sqrt {2}a+\frac {\sqrt {2}}{2}a}=\frac {1}{3}$,即$\tan ∠ EBC=\frac {1}{3}$.
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