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1. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = mx^{2} - 6x + 1 $，根据下列条件求 $ m $ 的取值范围。
(1) 该函数的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点；
(2) 该函数的图像与 $ x $ 轴有唯一一个公共点；
(3) 该函数的图像与 $ x $ 轴没有交点。
(1) 该函数的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点；
(2) 该函数的图像与 $ x $ 轴有唯一一个公共点；
(3) 该函数的图像与 $ x $ 轴没有交点。
答案：
1.解:
(1)由题意，得$\begin{cases}m≠ 0,\\ (-6)^2 - 4m ＞ 0,\end{cases}$解得$m ＜ 9$且$m≠ 0$.
(2)若$m = 0$，则一次函数$y = -6x + 1$的图像与$x$轴有唯一一个公共点；
若$m≠ 0$，则$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4× m× 1 = 0$，解得$m = 9$.综上，当$m$的值为9或0时，该函数的图像与$x$轴有唯一一个公共点.
(3)$\because$函数$y = mx^2 - 6x + 1$的图像与$x$轴没有交点，$\therefore m≠ 0$，且$(-6)^2 - 4m ＜ 0$，解得$m ＞ 9$.
$\therefore$当$m ＞ 9$时，该函数的图像与$x$轴没有交点.
(1)由题意，得$\begin{cases}m≠ 0,\\ (-6)^2 - 4m ＞ 0,\end{cases}$解得$m ＜ 9$且$m≠ 0$.
(2)若$m = 0$，则一次函数$y = -6x + 1$的图像与$x$轴有唯一一个公共点；
若$m≠ 0$，则$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4× m× 1 = 0$，解得$m = 9$.综上，当$m$的值为9或0时，该函数的图像与$x$轴有唯一一个公共点.
(3)$\because$函数$y = mx^2 - 6x + 1$的图像与$x$轴没有交点，$\therefore m≠ 0$，且$(-6)^2 - 4m ＜ 0$，解得$m ＞ 9$.
$\therefore$当$m ＞ 9$时，该函数的图像与$x$轴没有交点.
2. 已知抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x - 6 $。
(1) 求证：该抛物线与 $ x $ 轴一定有两个交点；
(2) 若该抛物线与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ A $，$ B $（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），且它的顶点为 $ P $，求 $ △ ABP $ 的面积。
(1) 求证：该抛物线与 $ x $ 轴一定有两个交点；
(2) 若该抛物线与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ A $，$ B $（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），且它的顶点为 $ P $，求 $ △ ABP $ 的面积。
答案：
2.
(1)证明:令$y = 0$，则$2x^2 - 4x - 6 = 0$，
$\because b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4× 2× (-6) = 64 ＞ 0$，
$\therefore$该抛物线与$x$轴一定有两个交点.
(2)解:当$y = 0$时，$2x^2 - 4x - 6 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$，$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$.
$\because y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8$，
$\therefore$顶点$P$的坐标为$(1,-8)$，
$\therefore △ ABP$的面积为$\frac{1}{2}× (3 + 1)× 8 = 16$.
(1)证明:令$y = 0$，则$2x^2 - 4x - 6 = 0$，
$\because b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4× 2× (-6) = 64 ＞ 0$，
$\therefore$该抛物线与$x$轴一定有两个交点.
(2)解:当$y = 0$时，$2x^2 - 4x - 6 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$，$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$.
$\because y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8$，
$\therefore$顶点$P$的坐标为$(1,-8)$，
$\therefore △ ABP$的面积为$\frac{1}{2}× (3 + 1)× 8 = 16$.
3. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图像的对称轴是直线 $ x = 2 $，且图像过点 $ (1, 2) $，与一次函数 $ y = x + m $ 的图像交于点 $ (0, -1) $。
求：(1) 两个函数的表达式；
(2) 两个函数图像的另一个交点的坐标。
求：(1) 两个函数的表达式；
(2) 两个函数图像的另一个交点的坐标。
答案：
3.解:
(1)$\because$二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像的对称轴是直线$x = 2$，且图像过点$(1,2)$，$(0,-1)$，
$\therefore \begin{cases}a + b + c = 2,\\ c = -1,\\ -\frac{b}{2a} = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\ b = 4,\\ c = -1,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = -x^2 + 4x - 1$.
$\because$一次函数$y = x + m$的图像过点$(0,-1)$，
$\therefore m = -1$，$\therefore$一次函数的表达式为$y = x - 1$.
(2)由题意，得$-x^2 + 4x - 1 = x - 1$，
解得$x = 0$或$x = 3$，当$x = 3$时，$y = 2$，
$\therefore$两个函数图像的另一个交点的坐标为$(3,2)$.
(1)$\because$二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像的对称轴是直线$x = 2$，且图像过点$(1,2)$，$(0,-1)$，
$\therefore \begin{cases}a + b + c = 2,\\ c = -1,\\ -\frac{b}{2a} = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\ b = 4,\\ c = -1,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = -x^2 + 4x - 1$.
$\because$一次函数$y = x + m$的图像过点$(0,-1)$，
$\therefore m = -1$，$\therefore$一次函数的表达式为$y = x - 1$.
(2)由题意，得$-x^2 + 4x - 1 = x - 1$，
解得$x = 0$或$x = 3$，当$x = 3$时，$y = 2$，
$\therefore$两个函数图像的另一个交点的坐标为$(3,2)$.
4. 已知抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - x - \frac{3}{2} $。
(1) 求抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2) 根据函数图像，直接写出当 $ y ＞ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围。
(1) 求抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2) 根据函数图像，直接写出当 $ y ＞ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围。
答案：
4.解:
(1)令$y = 0$，可得$\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0$，
解得$x = -1$或$x = 3$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$.
(2)抛物线如答图.
由图像可知当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$.
4.解:
(1)令$y = 0$，可得$\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0$，
解得$x = -1$或$x = 3$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$.
(2)抛物线如答图.
由图像可知当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$.
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