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22. (18分)科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同.其中无人机离地面高度$y_1$（米）与小钢球运动时间$x$（秒）之间的函数关系如图所示，小钢球离地面高度$y_2$（米）与它的运动时间$x$（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示.
(1)直接写出$y_1$与$x$之间的函数表达式；
(2)求出$y_2$与$x$之间的函数表达式；
(3)小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
(1)直接写出$y_1$与$x$之间的函数表达式；
(2)求出$y_2$与$x$之间的函数表达式；
(3)小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
答案：
22. 解：
(1)y₁=5x+30.
(2)当x=6时,y₁=5×6+30=60.
∵y₂的图像是过原点的抛物线,
∴设y₂=ax²+bx.
∵点(1,35),(6,60)在抛物线y₂=ax²+bx上,
∴$\begin{cases}35=a+b,\\60=36a+6b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-5,\\b=40,\end{cases}$
∴y₂=-5x²+40x.
(3)设小钢球和无人机的高度差为h米,
由-5x²+40x=0,得x=0或x=8.
①当1＜x≤6时,h=y₂ - y₁=-5x²+40x - 5x - 30=-5x²+35x - 30=-5(x - $\frac{7}{2}$)²+$\frac{125}{4}$.
∵-5＜0,
∴抛物线开口向下,
又
∵1＜x≤6,
∴当x=$\frac{7}{2}$时,h取得最大值$\frac{125}{4}$.
②当6＜x≤8时,h=y₁ - y₂=5x+30+5x² - 40x=5x² - 35x+30=5(x - $\frac{7}{2}$)² - $\frac{125}{4}$.
∵5＞0,
∴抛物线开口向上,
又
∵对称轴是直线x=$\frac{7}{2}$,
∴当x＞$\frac{7}{2}$时,h随x的增大而增大.
∵6＜x≤8,
∴当x=8时,h取得最大值70.
∵$\frac{125}{4}$＜70,
∴小钢球和无人机的高度差最大为70米.
(1)y₁=5x+30.
(2)当x=6时,y₁=5×6+30=60.
∵y₂的图像是过原点的抛物线,
∴设y₂=ax²+bx.
∵点(1,35),(6,60)在抛物线y₂=ax²+bx上,
∴$\begin{cases}35=a+b,\\60=36a+6b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-5,\\b=40,\end{cases}$
∴y₂=-5x²+40x.
(3)设小钢球和无人机的高度差为h米,
由-5x²+40x=0,得x=0或x=8.
①当1＜x≤6时,h=y₂ - y₁=-5x²+40x - 5x - 30=-5x²+35x - 30=-5(x - $\frac{7}{2}$)²+$\frac{125}{4}$.
∵-5＜0,
∴抛物线开口向下,
又
∵1＜x≤6,
∴当x=$\frac{7}{2}$时,h取得最大值$\frac{125}{4}$.
②当6＜x≤8时,h=y₁ - y₂=5x+30+5x² - 40x=5x² - 35x+30=5(x - $\frac{7}{2}$)² - $\frac{125}{4}$.
∵5＞0,
∴抛物线开口向上,
又
∵对称轴是直线x=$\frac{7}{2}$,
∴当x＞$\frac{7}{2}$时,h随x的增大而增大.
∵6＜x≤8,
∴当x=8时,h取得最大值70.
∵$\frac{125}{4}$＜70,
∴小钢球和无人机的高度差最大为70米.
23. (22分)(2025·苏州)如图，二次函数$y = -x^2 + 2x + 3$的图像与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，作直线$BC$，$M(m,y_1)$，$N(m + 2,y_2)$为二次函数$y = -x^2 + 2x + 3$图像上两点.
(1)求直线$BC$对应函数的表达式.
(2)试判断是否存在实数$m$使得$y_1 + 2y_2 = 10$.若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
(3)已知$P$是二次函数$y = -x^2 + 2x + 3$图像上一点（不与点$M$，$N$重合），且点$P$的横坐标为$1 - m$，作$△ MNP$.若直线$BC$与线段$MN$，$MP$分别交于点$D$，$E$，且$△ MDE$与$△ MNP$的面积的比为$1:4$，请直接写出所有满足条件的$m$的值.
(1)求直线$BC$对应函数的表达式.
(2)试判断是否存在实数$m$使得$y_1 + 2y_2 = 10$.若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
(3)已知$P$是二次函数$y = -x^2 + 2x + 3$图像上一点（不与点$M$，$N$重合），且点$P$的横坐标为$1 - m$，作$△ MNP$.若直线$BC$与线段$MN$，$MP$分别交于点$D$，$E$，且$△ MDE$与$△ MNP$的面积的比为$1:4$，请直接写出所有满足条件的$m$的值.
答案：
23. 解：
(1)令x=0,则y=3,
∴C(0,3).
令y=0,则-x²+2x+3=0,
解得x=-1或x=3,故B(3,0).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b,
故$\begin{cases}b=3,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$
∴直线BC对应函数的表达式为y=-x+3.
(2)不存在实数m使得y₁+2y₂=10,理由如下:
方法一:把M(m,y₁),N(m+2,y₂)代入二次函数y=-x²+2x+3中,
可得y₁=-m²+2m+3,y₂=-(m+2)²+2(m+2)+3=-m²-2m+3,
∴y₁+2y₂=-m²+2m+3+2(-m²-2m+3)=-3m²-2m+9=-3(m+$\frac{1}{3}$)²+9$\frac{1}{3}$,
故当m=-$\frac{1}{3}$时,y₁+2y₂的最大值为9$\frac{1}{3}$≠10,
故不存在实数m使得y₁+2y₂=10.
方法二:由方法一得y₁+2y₂=-3m²-2m+9.
当y₁+2y₂=10时,
即-3m²-2m+9=10,
整理,得3m²+2m+1=0.
∵b²-4ac=4-12=-8＜0,
∴方程没有实数根.
∴不存在实数m使得y₁+2y₂=10.
(3)m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,理由如下:
如答图,作NH//y轴,交x轴于点H,交BC于点N',作PQ⊥NH,垂足为Q,作MM'//y轴,交BC于点M',则MM'//NN'.
当x=1 - m时,y=-(1 - m)²+2(1 - m)+3=-m²+4,
∴点P的坐标为(1 - m,-m²+4).
∵点N的坐标为(m+2,-m²-2m+3),
∴点Q的坐标为(m+2,-m²+4),点H的坐标为(m+2,0),点N'的坐标为(m+2,-m+1),
∴NQ=PQ=|2m+1|,BH=HN'=|-m+1|,
∴∠PNQ=∠BN'H=45°,
∴PN//BC,
∴△MDE∽△MNP,
∴($\frac{MD}{MN}$)²=$\frac{1}{4}$,
∴MD=$\frac{1}{2}$MN,即MD=ND.
∵MM'//NN',
∴△MM'D∽△NN'D,
∴$\frac{MM'}{NN'}$=$\frac{MD}{ND}$=$\frac{1}{1}$,即MM'=NN'.
∵点M的坐标为(m,-m²+2m+3),
∴点M'的坐标为(m,-m+3).
∴m²-3m=-m²-m+2,
即m²-m-1=0,
解得m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
23. 解：
(1)令x=0,则y=3,
∴C(0,3).
令y=0,则-x²+2x+3=0,
解得x=-1或x=3,故B(3,0).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b,
故$\begin{cases}b=3,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$
∴直线BC对应函数的表达式为y=-x+3.
(2)不存在实数m使得y₁+2y₂=10,理由如下:
方法一:把M(m,y₁),N(m+2,y₂)代入二次函数y=-x²+2x+3中,
可得y₁=-m²+2m+3,y₂=-(m+2)²+2(m+2)+3=-m²-2m+3,
∴y₁+2y₂=-m²+2m+3+2(-m²-2m+3)=-3m²-2m+9=-3(m+$\frac{1}{3}$)²+9$\frac{1}{3}$,
故当m=-$\frac{1}{3}$时,y₁+2y₂的最大值为9$\frac{1}{3}$≠10,
故不存在实数m使得y₁+2y₂=10.
方法二:由方法一得y₁+2y₂=-3m²-2m+9.
当y₁+2y₂=10时,
即-3m²-2m+9=10,
整理,得3m²+2m+1=0.
∵b²-4ac=4-12=-8＜0,
∴方程没有实数根.
∴不存在实数m使得y₁+2y₂=10.
(3)m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,理由如下:
如答图,作NH//y轴,交x轴于点H,交BC于点N',作PQ⊥NH,垂足为Q,作MM'//y轴,交BC于点M',则MM'//NN'.
当x=1 - m时,y=-(1 - m)²+2(1 - m)+3=-m²+4,
∴点P的坐标为(1 - m,-m²+4).
∵点N的坐标为(m+2,-m²-2m+3),
∴点Q的坐标为(m+2,-m²+4),点H的坐标为(m+2,0),点N'的坐标为(m+2,-m+1),
∴NQ=PQ=|2m+1|,BH=HN'=|-m+1|,
∴∠PNQ=∠BN'H=45°,
∴PN//BC,
∴△MDE∽△MNP,
∴($\frac{MD}{MN}$)²=$\frac{1}{4}$,
∴MD=$\frac{1}{2}$MN,即MD=ND.
∵MM'//NN',
∴△MM'D∽△NN'D,
∴$\frac{MM'}{NN'}$=$\frac{MD}{ND}$=$\frac{1}{1}$,即MM'=NN'.
∵点M的坐标为(m,-m²+2m+3),
∴点M'的坐标为(m,-m+3).
∴m²-3m=-m²-m+2,
即m²-m-1=0,
解得m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
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