《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

三、解答题（共86分）
19. (16分)已知二次函数$y = -x^2 + bx + c$的图像经过点$A(1,4)$，$B(0,3)$.
(1)求该二次函数的表达式，并画出这个函数的图像.
(2)根据图像，直接写出：
①当函数值$y ≥ 0$时，自变量$x$的取值范围；
②当$-1 ＜ x ＜ 2$时，函数值$y$的取值范围.

答案：
19. 解：
(1)
∵二次函数y=-x²+bx+c的图像经过点A(1,4),B(0,3),
∴$\begin{cases}-1+b+c=4,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
故该二次函数的表达式为y=-x²+2x+3. 函数图像如答图所示.

(2)①根据题意,得-x²+2x+3=0,
解得x₁=-1,x₂=3,
当函数值y≥0时,自变量x的取值范围是-1≤x≤3.
②
∵y=-x²+2x+3,
∴对称轴为直线x=1.
当x=1时,y=4.
当x=-1时,y=0,由图像知函数值的取值范围是0≤y≤4.

20. (15分)如图，$A$，$B$为一次函数$y = x - 5$的图像与二次函数$y = -x^2 + bx + c$的图像的公共点，点$A$，$B$的横坐标分别为$0$，$4$.$P$为二次函数$y = -x^2 + bx + c$的图像上的动点，且位于直线$AB$的上方，连接$PA$，$PB$.
(1)求$b$，$c$的值；
(2)求$△ PAB$的面积的最大值；
(3)若该二次函数$y = -x^2 + bx + c$的图像经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式.

答案：
20. 解：
(1)对于y=x - 5,当x=0时,y=-5;
当x=4时,y=4 - 5=-1,
∴A(0,-5),B(4,-1).
把(0,-5),(4,-1)代入y=-x²+bx+c,得
$\begin{cases}c=-5,\\-16+4b+c=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-5,\\b=5.\end{cases}$
(2)由
(1)得二次函数的表达式为y=-x²+5x - 5,
设P(m,-m²+5m - 5),作PE//OA,交AB于点E,如答图所示.

则E(m,m - 5),则PE=-m²+5m - 5-(m - 5)=-m²+4m,
则S△PBA=$\frac{1}{2}$×PE×(x_B - x_A)=$\frac{1}{2}$×4×(-m²+4m)=-2(m - 2)²+8,
∴当m=2时,△PAB的面积最大,最大值为8.
(3)设抛物线平移的距离为t,则平移后的抛物线表达式为y=-x²+5x - 5+t.
∵平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点,
∴25+4(t - 5)=0,解得t=-$\frac{5}{4}$,
∴平移后的抛物线的函数表达式为y=-x²+5x - $\frac{25}{4}$.
当抛物线过原点时,也符合题意,此时抛物线的函数表达式为y=-x²+5x.
综上,平移后的函数表达式为y=-x²+5x或y=-x²+5x - $\frac{25}{4}$.

21. (15分)如图，在平面直角坐标系中，矩形$ABCO$的边$OA$，$OC$分别在坐标轴上，$OA = 2$，$OC = 1$，以$A$为顶点的抛物线经过点$C$.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将矩形$ABCO$绕点$A$旋转，得到矩形$AB'C'O'$，使点$C'$落在$x$轴上，抛物线是否经过点$C'$？请说明理由.

答案：
21. 解：
(1)
∵OA=2,OC=1,
∴A(0,2),C(-1,0).
设抛物线的函数表达式为y=ax²+2,把C(-1,0)代入,得0=a+2,解得a=-2.
∴该抛物线的函数表达式为y=-2x²+2.
(2)抛物线经过点C'.理由:如答图,连接AC,AC'.

根据旋转的性质,得AC=AC'.
∵OA⊥CC',
∴点C与点C'关于y轴对称.
又
∵该抛物线的对称轴是y轴,点C在该抛物线上,
∴抛物线经过点C'.