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2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
18. 设椭圆 $E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的一个焦点为 $F(3,0)$,$A(-2,\sqrt{3})$ 为 $E$ 内一点,若 $E$ 上存在一点 $M$,使得 $|MA|+|MF| = 10$,则椭圆 $E$ 离心率的取值范围是
$[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$
.
答案：
18.$[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$【解析】椭圆的离心率
由椭圆的一个焦点为$F(3,0)$，可得$F$为椭圆的右焦点，设左焦点为$F'(-3,0)$，则$|AF'| = \sqrt{(-2 + 3)^{2} + (\sqrt{3} - 0)^{2}} = 2$。由椭圆的定义可得$|MF| = 2a - |MF'|$，所以$2a = 10 + |MF'| - |MA|$。因为点$M$为椭圆上的点，点$A$为椭圆内部的点，所以$|MF'| - |MA| \in [-2,2]$，当且仅当$M,A,F'$三点共线时，取到边界值。所以$2a \in [8,12]$，即$a \in [4,6]$。所以椭圆的离心率$e = \frac{c}{a} \in [\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$。
由椭圆的一个焦点为$F(3,0)$，可得$F$为椭圆的右焦点，设左焦点为$F'(-3,0)$，则$|AF'| = \sqrt{(-2 + 3)^{2} + (\sqrt{3} - 0)^{2}} = 2$。由椭圆的定义可得$|MF| = 2a - |MF'|$，所以$2a = 10 + |MF'| - |MA|$。因为点$M$为椭圆上的点，点$A$为椭圆内部的点，所以$|MF'| - |MA| \in [-2,2]$，当且仅当$M,A,F'$三点共线时，取到边界值。所以$2a \in [8,12]$，即$a \in [4,6]$。所以椭圆的离心率$e = \frac{c}{a} \in [\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$。
19. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,已知 $\angle BAC = 120^{\circ}$,其内切圆与 $AC$ 边相切于点 $D$,且 $AD = 1$,延长 $BA$ 到 $E$,使 $BE = BC$,连接 $CE$,设以 $E,C$ 为焦点且经过点 $A$ 的椭圆的离心率为 $e_{1}$,以 $E,C$ 为焦点且经过点 $A$ 的双曲线的离心率为 $e_{2}$,则 $e_{1}e_{2}$ 的取值范围是
$(1, + \infty)$
.
答案：
19.$(1, + \infty)$【解析】三角形的内切圆+椭圆及双曲线的几何性质+对勾函数的性质
如图，设内切圆与$AB$，$BC$分别相切于点$G,M$，由圆的切线长定理知$AG = AD = 1$，设$CD = CM = GE = m(m ＞ 1)$，$\therefore AC = 1 + m$，$AE = GE - AG = m - 1$。在$\triangle ACE$中，由余弦定理得$CE^{2} = AC^{2} + AE^{2} - 2AC · AE · \cos 60^{\circ} = m^{2} + 3$，$\therefore CE = \sqrt{m^{2} + 3}$。
以$C,E$为焦点且过点$A$的椭圆的离心率$e_{1} = \frac{\sqrt{m^{2} + 3}}{2m}$，以$C,E$为焦点且过点$A$的双曲线的离心率$e_{2} = \frac{\sqrt{m^{2} + 3}}{2}$，则$e_{1}e_{2} = \frac{m^{2} + 3}{4m} = \frac{m}{4} + \frac{3}{4m}$。
在$\triangle ABC$中，设$BM = n$，$\therefore BC = m + n$，$AB = n + 1$。由余弦定理得$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB · AC · \cos 120^{\circ}$，整理得$mn = 3m + 3n + 3$，$\therefore n = \frac{3m + 3}{m - 3}$。由于$n ＞ 0$，$\therefore m ＞ 3$。由“对勾函数”的性质知$e_{1}e_{2} ＞ 1$，即$e_{1}e_{2}$的取值范围是$(1, + \infty)$。
19.$(1, + \infty)$【解析】三角形的内切圆+椭圆及双曲线的几何性质+对勾函数的性质
如图，设内切圆与$AB$，$BC$分别相切于点$G,M$，由圆的切线长定理知$AG = AD = 1$，设$CD = CM = GE = m(m ＞ 1)$，$\therefore AC = 1 + m$，$AE = GE - AG = m - 1$。在$\triangle ACE$中，由余弦定理得$CE^{2} = AC^{2} + AE^{2} - 2AC · AE · \cos 60^{\circ} = m^{2} + 3$，$\therefore CE = \sqrt{m^{2} + 3}$。
以$C,E$为焦点且过点$A$的椭圆的离心率$e_{1} = \frac{\sqrt{m^{2} + 3}}{2m}$，以$C,E$为焦点且过点$A$的双曲线的离心率$e_{2} = \frac{\sqrt{m^{2} + 3}}{2}$，则$e_{1}e_{2} = \frac{m^{2} + 3}{4m} = \frac{m}{4} + \frac{3}{4m}$。
在$\triangle ABC$中，设$BM = n$，$\therefore BC = m + n$，$AB = n + 1$。由余弦定理得$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB · AC · \cos 120^{\circ}$，整理得$mn = 3m + 3n + 3$，$\therefore n = \frac{3m + 3}{m - 3}$。由于$n ＞ 0$，$\therefore m ＞ 3$。由“对勾函数”的性质知$e_{1}e_{2} ＞ 1$，即$e_{1}e_{2}$的取值范围是$(1, + \infty)$。
20. 已知椭圆 $E:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3} = 1$,求椭圆 $E$ 的离心率和焦点坐标.
答案：
20.椭圆的几何性质
解：由题意得$\begin{cases} a^{2} = 4, \\b^{2} = 3, \\c^{2} = a^{2} - b^{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\b = \sqrt{3}, \\c = 1, \end{cases}$所以椭圆E的离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，焦点坐标分别为$(-1,0),(1,0)$。
解：由题意得$\begin{cases} a^{2} = 4, \\b^{2} = 3, \\c^{2} = a^{2} - b^{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\b = \sqrt{3}, \\c = 1, \end{cases}$所以椭圆E的离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，焦点坐标分别为$(-1,0),(1,0)$。
21. 已知双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $3x\pm4y = 0$,求 $C$ 的离心率.
答案：
21.双曲线的离心率
解：当焦点在$x$轴上时，$\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$，则离心率$e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \frac{5}{4}$。当焦点在$y$轴上时，$\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$，则离心率$e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \frac{5}{3}$。所以双曲线C的离心率为$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{3}$。
解：当焦点在$x$轴上时，$\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$，则离心率$e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \frac{5}{4}$。当焦点在$y$轴上时，$\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$，则离心率$e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \frac{5}{3}$。所以双曲线C的离心率为$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{3}$。
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