《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版》

9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，关于曲线 $ C:x^2 + y^2 - 2mx + 2y + 2m = 0 $ 的说法正确的有(AC)

A.若 $ m = 0 $，则曲线 $ C $ 表示一个圆
B.若 $ m = 1 $，则曲线 $ C $ 表示两条直线
C.若 $ m = 2 $，则过点 $ (1,1) $ 与曲线 $ C $ 相切的直线有两条
D.若 $ m = 2 $，则直线 $ x + y = 0 $ 被曲线 $ C $ 截得的弦长等于 $ 2\sqrt{2} $

答案： 9.AC[解析]直线与圆 对于A，当m = 0时，曲线C：x² + y² + 2y = 0，即x² + (y + 1)² = 1，表示圆心为C(0, -1)，半径r = 1的圆，故A正确。对于B，当m = 1时，曲线C：x² + y² - 2x + 2y + 2 = 0，即(x - 1)² + (y + 1)² = 0，解得x = 1，y = -1，则曲线C表示点(1, -1)，故B不正确。对于C，当m = 2时，曲线C：x² + y² - 4x + 2y + 4 = 0，即(x - 2)² + (y + 1)² = 1，表示圆心为C(2, -1)，半径r = 1的圆。因为(1 - 2)² + (1 + 1)² = 5 ＞ 1，所以点(1, 1)在圆外。所以过点(1, 1)与曲线C相切的直线有两条。故C正确。对于D，圆心C(2, -1)到直线x + y = 0的距离d = $\frac{|2 + (-1)|}{\sqrt{1² + 1²}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以直线与圆相交所得弦长为$2\sqrt{r² - d²} = 2\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})²} = \sqrt{2}$，故D不正确。综上所述，故选AC。

10. 已知椭圆 $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{25 - k} + \frac{y^2}{9 - k} = 1 $，则(AC)

A.$ k ＜ 9 $
B.短轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等

答案： 10.AC[解析]椭圆的几何性质 在椭圆$\frac{x²}{25}$ + $\frac{y²}{9}$ = 1中，a = 5，b = 3，
∴c = $\sqrt{a² - b²}$ = 4。短轴长为2b = 6，长轴长为2a = 10，焦距为2c = 4×2 = 8，离心率e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{4}{5}$。在椭圆$\frac{x²}{25 - k}$ + $\frac{y²}{9 - k}$ = 1中，a = $\sqrt{25 - k}$，b = $\sqrt{9 - k}$，
∴c = $\sqrt{a² - b²}$ = $\sqrt{25 - k - (9 - k)}$ = 4（题眼）。
∴长轴长为2$\sqrt{25 - k}$，短轴长为2$\sqrt{9 - k}$，焦距为2c = 4×2 = 8。联立$\begin{cases}25 - k ＞ 0 \\ 9 - k ＞ 0 \end{cases}$，解得k ＜ 9，离心率e = $\frac{4}{\sqrt{25 - k}}$。
∴A、C正确，B、D错误。故选AC。

11. 已知双曲线 $ \Gamma:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0, b ＞ 0) $ 的离心率为 $ e $，过其右焦点 $ F $ 的直线 $ l $ 与 $ \Gamma $ 交于点 $ A $，$ B $，下列结论正确的是(ACD)

A.若 $ a = b $，则 $ e = \sqrt{2} $
B.$ |AB| $ 的最小值为 $ 2a $
C.若满足 $ |AB| = 2a $ 的直线 $ l $ 恰有一条，则 $ e ＞ \sqrt{2} $
D.若满足 $ |AB| = 2a $ 的直线 $ l $ 恰有三条，则 $ 1 ＜ e ＜ \sqrt{2} $

答案： 11.ACD[解析]双曲线的几何性质 + 直线与双曲线的位置关系 对于A，由a = b得e = $\sqrt{1 + \frac{b²}{a²}}$ = $\sqrt{2}$，故A正确。若直线l与双曲线交于一支，则当直线l与实轴垂直时，|AB|最小，此时|AB| = $\frac{2b²}{a}$；若直线l与双曲线交于两支，当直线l与实轴垂直时，|AB|最小，此时|AB| = 2a，故B错误。对于C，若满足|AB| = 2a的直线l恰有一条，结合B可知，该直线与双曲线Γ的左、右两支各有一个交点，所以$\frac{2b²}{a}$＞2a，得e ＞ $\sqrt{2}$。故C正确。对于D，若满足|AB| = 2a的直线l有三条，则该直线l与x轴重合或直线l与双曲线的右支分别有两个交点（直线l不与x轴垂直），所以$\frac{2b²}{a}$＜2a，得1 ＜ e ＜ $\sqrt{2}$。故D正确。故选ACD。

12. 过点 $ (2,1) $ 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是x - 2y = 0或x + y - 3 = 0；在 $ x $ 轴和 $ y $ 轴上的截距分别为 $ -2 $，$ 3 $ 的直线方程是3x - 2y + 6 = 0。

答案： 12.x - 2y = 0或x + y - 3 = 0；3x - 2y + 6 = 0 [解析]直线的方程 若直线在两坐标轴上的截距为0，设直线方程为y = kx，代入点(2, 1)的坐标，解得k = $\frac{1}{2}$，即所求直线方程为x - 2y = 0；若直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为x + y = a，代入点(2, 1)的坐标，解得a = 3，即所求直线方程为x + y - 3 = 0，故满足题意的直线方程是x - 2y = 0或x + y - 3 = 0；由题得所求的直线方程的截距式为$\frac{x}{ - 2}$ + $\frac{y}{3}$ = 1，化为一般式为3x - 2y + 6 = 0。

13. 设 $ F $ 为抛物线 $ C:y^2 = 4x $ 的焦点，点 $ A $ 在抛物线 $ C $ 上，点 $ B(3,0) $，且 $ |AF| = |BF| $，则 $ |AB| = $2$\sqrt{2}$。

答案： 13.2$\sqrt{2}$ [解析]抛物线的定义及几何性质、两点间的距离公式 由题易知，抛物线C：y² = 4x的焦点F(1, 0)，点A在抛物线C上，点B(3, 0)，所以|BF| = 2。设A(x₁, y₁)，由抛物线的定义知|AF| = x₁ + 1，又|AF| - |BF| = 0，所以x₁ + 1 - 2 = 0，解得x₁ = 1，把x₁ = 1代入y² = 4x得y₁ = ±2，所以A(1, 2)或(1, -2)。所以|AB| = $\sqrt{(3 - 1)² + (0 ± 2)²}$ = 2$\sqrt{2}$。

14. 【开放题】满足 $ b^2 = ac $ 的椭圆 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0, c $ 为半焦距$) $ 为黄金椭圆，写出一个黄金椭圆的方程$\frac{x²}{4}$ + $\frac{y²}{2\sqrt{5} - 2}$ = 1（答案不唯一，符合条件即可）。

答案： 14.$\frac{x²}{4}$ + $\frac{y²}{2\sqrt{5} - 2}$ = 1（答案不唯一，符合条件即可） [解析]椭圆的几何性质 由椭圆中b² = a² - c²，结合已知b² = ac，得a² - c² = ac，两边同时除以a²可得方程e² + e - 1 = 0，解得e = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$或e = $\frac{ - \sqrt{5} - 1}{2}$（舍），所以只要满足e = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$都是黄金椭圆。例如a = 2，c = $\sqrt{5} - 1$，则b² = a² - c² = 4 - ($\sqrt{5} - 1$)² = 2$\sqrt{5} - 2$，可得黄金椭圆的方程为$\frac{x²}{4}$ + $\frac{y²}{2\sqrt{5} - 2}$ = 1。

15. (13分) 已知圆 $ C $ 经过点 $ (2,0) $ 和 $ (0,2) $ 且圆心在直线 $ x + y = 4 $ 上。
(1) 求圆 $ C $ 的方程。
(2) 若点 $ P $ 为圆心 $ C $ 上的任意一点，求点 $ P $ 到直线 $ l:2x + y + 2 = 0 $ 距离的最大值和最小值。

答案： 15.圆的方程 + 直线与圆的位置关系
解：
(1)解法一：由题意，点(2, 0)与点(0, 2)连线的垂直平分线的方程为y = x。
由$\begin{cases}y = x \\ x + y = 4 \end{cases}$，解得x = y = 2，即圆C的圆心坐标为(2, 2)（关键：确定圆心的坐标）。
又点(2, 2)与点(2, 0)间的距离为2（关键：确定圆的半径），所以圆C的方程为(x - 2)² + (y - 2)² = 4。（6分）
解法二：由题可设圆心为C(a, 4 - a)，则半径r = $\sqrt{(a - 2)² + (4 - a)²}$ = $\sqrt{a² + (4 - a - 2)²}$，
解得a = 2，r = 2，所以圆C的方程为(x - 2)² + (y - 2)² = 4。（6分）
(2)解法一：圆心C(2, 2)到直线l：2x + y + 2 = 0的距离为$\frac{|2×2 + 2 + 2|}{\sqrt{2² + 1²}}$ = $\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
因为圆C的半径为2，所以点P到直线l距离的最大值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$ + 2，最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$ - 2。（13分）
解法二：设P(2 + 2cosθ, 2 + 2sinθ)（θ∈[0, 2π)），
则点P到直线l：2x + y + 2 = 0的距离
d = $\frac{|2(2 + 2cosθ) + (2 + 2sinθ) + 2|}{\sqrt{5}}$ = $\frac{|8 + 2sinθ + 4cosθ|}{\sqrt{5}}$ = $\frac{|8 + 2\sqrt{5}(\frac{1}{\sqrt{5}}sinθ + \frac{2}{\sqrt{5}}cosθ)|}{\sqrt{5}}$，令cosφ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinφ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$，则d = $\frac{|8 + 2\sqrt{5}sin(θ + φ)|}{\sqrt{5}}$，其中tanφ = 2。
当sin(θ + φ) = 1时，dₘₐₓ = $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ + 2；当sin(θ + φ) = -1时，dₘᵢₙ = $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ - 2。
所以点P到直线l距离的最大值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$ + 2，最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$ - 2。（13分）