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2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
8. 下列关于空间向量的表述，不正确的个数为 (
① $|\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 是 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 共线的充要条件；
② 若 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在唯一的实数 $\lambda$，使 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$；
③ 若 $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} = 0,\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c} = 0$，则 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{c}$；
④ 若 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b},\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c},\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}\}$ 构成空间的另一个基底；
⑤ $|(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})·\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{a}|·|\boldsymbol{b}|·|\boldsymbol{c}|$.
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)① $|\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 是 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 共线的充要条件；
② 若 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在唯一的实数 $\lambda$，使 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$；
③ 若 $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} = 0,\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c} = 0$，则 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{c}$；
④ 若 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b},\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c},\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}\}$ 构成空间的另一个基底；
⑤ $|(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})·\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{a}|·|\boldsymbol{b}|·|\boldsymbol{c}|$.
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：
8.C【解析】空间向量的数量积+平行向量 由空间向量的数量积和向量平行可知只有④正确，故选C.
9. 已知空间向量 $\boldsymbol{a}=(-2,1,2),\boldsymbol{b}=(1,-\frac{1}{2},m)$，则下列选项正确的是 (
A.$|\boldsymbol{a}| = 9$
B.若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则 $m = \frac{5}{4}$
C.若 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则 $m = 1$
D.若 $m = 1$，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = -\frac{1}{9}$
BD
)A.$|\boldsymbol{a}| = 9$
B.若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则 $m = \frac{5}{4}$
C.若 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则 $m = 1$
D.若 $m = 1$，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = -\frac{1}{9}$
答案：
9.BD【解析】空间向量的模+垂直向量+平行向量+空间向量的夹角公式 $\because\boldsymbol{a}=(-2,1,2)$，$\therefore|\boldsymbol{a}|=\sqrt{4+1+4}=3$.A错误.若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-2-\frac{1}{2}+2m=0$，解得$m=\frac{5}{4}$，B正确.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$-\frac{2}{1}=\frac{1}{2}=\frac{2}{m}$，解得$m=-1$，C错误.若$m=1$，则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-2-\frac{1}{2}+2}{3×\frac{3}{2}}=-\frac{1}{9}$，D正确.故选BD.
10. 如图，已知四面体 $ABCD$ 的所有棱长都等于 2，$E,F,G$ 分别是 $AB,AD,DC$ 的中点，则 (
A.$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC} = 2$
B.$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC} = 2$
C.$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{EF} = 1$
D.$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{EF} = 0$
ACD
)A.$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC} = 2$
B.$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC} = 2$
C.$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{EF} = 1$
D.$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{EF} = 0$
答案：
10.ACD【解析】空间向量的数量积的运算 由题意知四面体$ABCD$为正四面体，所以$\angle BAC=\angle CBD=60^{\circ}$.对于A，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\angle BAC=2×2×\frac{1}{2}=2$，故A正确.对于B，因为点$E,F,G$分别是$AB,AD,DC$的中点，所以$GF// AC$，$EF// BD$，且$GF=\frac{1}{2}AC=1$，$EF=\frac{1}{2}BD=1$.所以$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{GF}||\overrightarrow{AC}|\cos180^{\circ}=-2$（易错：忽略向量的方向，误认为两平行向量的夹角为$0^{\circ}$）.故B不正确.对于C，$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BD}|·\cos\angle CBD=\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}=1$，故C正确.对于D，如图，取$BD$的中点$H$，连接$AH,CH$，因为$\triangle ABD,\triangle BCD$均为等边三角形，所以$AH\perp BD$，$CH\perp BD$.因为$AH\cap CH=H$，且$AH,CH\subset$平面$ACH$，所以$BD\perp$平面$ACH$.因为$AC\subset$平面$ACH$，所以$BD\perp AC$.所以$EF\perp GF$.所以$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{EF}=0$.故D正确.综上所述，故选ACD.
10.ACD【解析】空间向量的数量积的运算 由题意知四面体$ABCD$为正四面体，所以$\angle BAC=\angle CBD=60^{\circ}$.对于A，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\angle BAC=2×2×\frac{1}{2}=2$，故A正确.对于B，因为点$E,F,G$分别是$AB,AD,DC$的中点，所以$GF// AC$，$EF// BD$，且$GF=\frac{1}{2}AC=1$，$EF=\frac{1}{2}BD=1$.所以$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{GF}||\overrightarrow{AC}|\cos180^{\circ}=-2$（易错：忽略向量的方向，误认为两平行向量的夹角为$0^{\circ}$）.故B不正确.对于C，$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BD}|·\cos\angle CBD=\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}=1$，故C正确.对于D，如图，取$BD$的中点$H$，连接$AH,CH$，因为$\triangle ABD,\triangle BCD$均为等边三角形，所以$AH\perp BD$，$CH\perp BD$.因为$AH\cap CH=H$，且$AH,CH\subset$平面$ACH$，所以$BD\perp$平面$ACH$.因为$AC\subset$平面$ACH$，所以$BD\perp AC$.所以$EF\perp GF$.所以$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{EF}=0$.故D正确.综上所述，故选ACD.
11. 如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$EA// BF$，$EA\perp$ 平面 $ABCD$，$AB = AE = 2BF = 2$，点 $M$ 在棱 $EC$ 上，且 $\overrightarrow{EM}=\lambda\overrightarrow{EC}$，则 (
A.当 $\lambda = \frac{1}{4}$ 时，$DM//$ 平面 $BFC$
B.当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，$MF\perp$ 平面 $EAC$
C.当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，点 $M$ 到平面 $BCF$ 的距离为 1
D.当 $\lambda = \frac{1}{4}$ 时，平面 $MBD$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $\frac{\pi}{4}$
BC
)A.当 $\lambda = \frac{1}{4}$ 时，$DM//$ 平面 $BFC$
B.当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，$MF\perp$ 平面 $EAC$
C.当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，点 $M$ 到平面 $BCF$ 的距离为 1
D.当 $\lambda = \frac{1}{4}$ 时，平面 $MBD$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $\frac{\pi}{4}$
答案：
11.BC【解析】线面平行与垂直的判定定理+点到平面的距离+两平面所成角 $\because EA\perp$平面$ABCD$，四边形$ABCD$为正方形，$\therefore$以点$A$为坐标原点，$AD,AB,AE$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系$A-xyz$，则$A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),F(0,2,1),\overrightarrow{EC}=(2,2,-2),\overrightarrow{EM}=(2\lambda,2\lambda,-2\lambda)$.$\therefore M(2\lambda,2\lambda,-2\lambda+2)$.对于A，D，当$\lambda=\frac{1}{4}$时，$M(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{DM}=(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，易知平面$BFC$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$.$\because\overrightarrow{DM}·\boldsymbol{m}=\frac{1}{2}\neq0$，$\therefore\overrightarrow{DM}$与平面$BFC$不平行.$\therefore$A错误.设平面$MBD$的法向量为$\boldsymbol{n_{1}}=(x,y,z)$，$\overrightarrow{DB}=(-2,2,0)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n_{1}}·\overrightarrow{DB}=-2x+2y=0,\\\boldsymbol{n_{1}}·\overrightarrow{DM}=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}z=0.\end{cases}$（题眼），令$x=3$，可得$\boldsymbol{n_{1}}=(3,3,2)$.由题易知平面$ABCD$的一个法向量为$\boldsymbol{n_{2}}=(0,0,1)$，$\therefore\cos\langle\boldsymbol{n_{1}},\boldsymbol{n_{2}}\rangle=\frac{\boldsymbol{n_{1}}·\boldsymbol{n_{2}}}{|\boldsymbol{n_{1}}|·|\boldsymbol{n_{2}}|}=\frac{\sqrt{22}}{11}\neq1$.$\therefore$平面$MBD$与平面$ABCD$所成角不为$\frac{\pi}{4}$.$\therefore$D错误.对于B，C，当$\lambda=\frac{1}{2}$时，$M(1,1,1)$，$\overrightarrow{FM}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,0,2)$，$\therefore\overrightarrow{FM}·\overrightarrow{AC}=2-2=0$，$\overrightarrow{FM}·\overrightarrow{AE}=0$.则$\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{AE}$.又$AC\cap AE=A$，$AC,AE\subset$平面$EAC$，$\therefore\overrightarrow{FM}\perp$平面$EAC$.$\therefore$B正确.$\because$点$M$到平面$BCF$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{FM}·\boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=1$，$\therefore$C正确.故选BC.
11.BC【解析】线面平行与垂直的判定定理+点到平面的距离+两平面所成角 $\because EA\perp$平面$ABCD$，四边形$ABCD$为正方形，$\therefore$以点$A$为坐标原点，$AD,AB,AE$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系$A-xyz$，则$A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),F(0,2,1),\overrightarrow{EC}=(2,2,-2),\overrightarrow{EM}=(2\lambda,2\lambda,-2\lambda)$.$\therefore M(2\lambda,2\lambda,-2\lambda+2)$.对于A，D，当$\lambda=\frac{1}{4}$时，$M(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{DM}=(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，易知平面$BFC$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$.$\because\overrightarrow{DM}·\boldsymbol{m}=\frac{1}{2}\neq0$，$\therefore\overrightarrow{DM}$与平面$BFC$不平行.$\therefore$A错误.设平面$MBD$的法向量为$\boldsymbol{n_{1}}=(x,y,z)$，$\overrightarrow{DB}=(-2,2,0)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n_{1}}·\overrightarrow{DB}=-2x+2y=0,\\\boldsymbol{n_{1}}·\overrightarrow{DM}=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}z=0.\end{cases}$（题眼），令$x=3$，可得$\boldsymbol{n_{1}}=(3,3,2)$.由题易知平面$ABCD$的一个法向量为$\boldsymbol{n_{2}}=(0,0,1)$，$\therefore\cos\langle\boldsymbol{n_{1}},\boldsymbol{n_{2}}\rangle=\frac{\boldsymbol{n_{1}}·\boldsymbol{n_{2}}}{|\boldsymbol{n_{1}}|·|\boldsymbol{n_{2}}|}=\frac{\sqrt{22}}{11}\neq1$.$\therefore$平面$MBD$与平面$ABCD$所成角不为$\frac{\pi}{4}$.$\therefore$D错误.对于B，C，当$\lambda=\frac{1}{2}$时，$M(1,1,1)$，$\overrightarrow{FM}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,0,2)$，$\therefore\overrightarrow{FM}·\overrightarrow{AC}=2-2=0$，$\overrightarrow{FM}·\overrightarrow{AE}=0$.则$\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{FM}\perp\overrightarrow{AE}$.又$AC\cap AE=A$，$AC,AE\subset$平面$EAC$，$\therefore\overrightarrow{FM}\perp$平面$EAC$.$\therefore$B正确.$\because$点$M$到平面$BCF$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{FM}·\boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=1$，$\therefore$C正确.故选BC.
12. 空间向量 $\boldsymbol{a}=(2,-1,0),\boldsymbol{b}=(1,0,-1),\boldsymbol{n}=(1,y,z)$，若 $\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{a},\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}$，则 $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=$
2
，$y + z=$3
.
答案：
12.2 3【解析】空间向量的数量积运算 依题意得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=2-y=0$，$b=2$，$\begin{cases}n· a=2-y=0,\\n· b=1-z=0,\end{cases}$，因此$y+z=3$.
13. 在四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是棱 $CD$ 的中点，且 $\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AD}$，则 $x + y + z$ 的值为
0
.
答案：
13.0【解析】空间向量的线性运算+空间向量基本定理及其应用 如图所示，因为$E$是棱$CD$的中点，所以$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.所以$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$，$z=\frac{1}{2}$.所以$x+y+z=0$.
13.0【解析】空间向量的线性运算+空间向量基本定理及其应用 如图所示，因为$E$是棱$CD$的中点，所以$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.所以$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$，$z=\frac{1}{2}$.所以$x+y+z=0$.
14. 底面为矩形的直四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 2\sqrt{6},BC = AA_1 = 4$，点 $E$ 在棱 $AB$ 上且满足 $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，$F,G$ 分别为棱 $BC,CC_1$ 的中点，$P$ 是底面 $ABCD$ 内一点，若直线 $PB_1$ 与平面 $EFG$ 垂直，则点 $A$ 到平面 $PBB_1$ 的距离的大小是
$\frac{4\sqrt{15}}{5}$
.
答案：
14.$\frac{4\sqrt{15}}{5}$【解析】点到平面的距离+空间向量的应用 连接$AB_{1}$，如图所示，以点$D$为坐标原点建立空间直角坐标系，则$B_{1}(4,2\sqrt{6},4)$，$E(4,\frac{4\sqrt{6}}{3},0)$，$F(2,2\sqrt{6},0)$，$G(0,2\sqrt{6},2)$，所以$\overrightarrow{EF}=(-2,\frac{2\sqrt{6}}{3},0)$，$\overrightarrow{GF}=(2,0,-2)$.设$P(x,y,0)$，则$\overrightarrow{PB_{1}}=(4-x,2\sqrt{6}-y,4)$.因为$PB_{1}\perp$平面$EFG$，所以$\begin{cases}\overrightarrow{PB_{1}}·\overrightarrow{EF}=0,\\\overrightarrow{PB_{1}}·\overrightarrow{GF}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}2x-\frac{2\sqrt{6}}{3}y=0,\\8-2x-8=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0,\\y=0,\end{cases}$即$P(0,0,0)$，所以点$P$与点$D$重合(题眼).设点$A$到平面$PBB_{1}$的距离为$d$，则由$V_{B_{1}-ABP}=V_{A-PB_{1}B}$，得$\frac{1}{3}×4×\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×4=\frac{1}{3}× d×\frac{1}{2}×\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+4^{2}}×4$（提示：求点到平面的距离时常利用等体积法求解，即利用三棱锥的底面与顶点的转换性，将点到平面的距离转化为求三棱锥的高的一种方法），解得$d=\frac{4\sqrt{15}}{5}$.
14.$\frac{4\sqrt{15}}{5}$【解析】点到平面的距离+空间向量的应用 连接$AB_{1}$，如图所示，以点$D$为坐标原点建立空间直角坐标系，则$B_{1}(4,2\sqrt{6},4)$，$E(4,\frac{4\sqrt{6}}{3},0)$，$F(2,2\sqrt{6},0)$，$G(0,2\sqrt{6},2)$，所以$\overrightarrow{EF}=(-2,\frac{2\sqrt{6}}{3},0)$，$\overrightarrow{GF}=(2,0,-2)$.设$P(x,y,0)$，则$\overrightarrow{PB_{1}}=(4-x,2\sqrt{6}-y,4)$.因为$PB_{1}\perp$平面$EFG$，所以$\begin{cases}\overrightarrow{PB_{1}}·\overrightarrow{EF}=0,\\\overrightarrow{PB_{1}}·\overrightarrow{GF}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}2x-\frac{2\sqrt{6}}{3}y=0,\\8-2x-8=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0,\\y=0,\end{cases}$即$P(0,0,0)$，所以点$P$与点$D$重合(题眼).设点$A$到平面$PBB_{1}$的距离为$d$，则由$V_{B_{1}-ABP}=V_{A-PB_{1}B}$，得$\frac{1}{3}×4×\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×4=\frac{1}{3}× d×\frac{1}{2}×\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+4^{2}}×4$（提示：求点到平面的距离时常利用等体积法求解，即利用三棱锥的底面与顶点的转换性，将点到平面的距离转化为求三棱锥的高的一种方法），解得$d=\frac{4\sqrt{15}}{5}$.
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