《2025年天利38套对接高考单元专题测试卷高中数学选择性必修第一册人教版》

18. （17分）已知$O$为坐标原点，点$G(-2,0)$和点$H(2,0)$，动点$P$满足：$|PG|-|PH|=2$。
（1）求动点$P$的轨迹曲线$W$的方程并说明$W$是何种曲线。
（2）若抛物线$Z:y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点$F$恰为曲线$W$的顶点，过点$F$的直线$l$与抛物线$Z$交于$M$，$N$两点，$|MN|=8$，求直线$l$的方程。

答案： 18.双曲线的定义+直线与抛物线的位置关系+抛物线的定义
解:
(1)根据双曲线的定义可知,点 $P$ 的轨迹曲线 $W$ 是以 $G(-2,0)$,$H(2,0)$ 为焦点的双曲线的右支,所以 $c = 2$.
因为 $|PG| - |PH| = 2 = 2a$(题眼),所以 $a = 1$.
所以 $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.
所以动点 $P$ 的轨迹曲线 $W$ 的方程为 $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1(x \geq 1)$.(6分)
(2)设 $M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$,因为曲线 $W$ 的顶点为 $(1,0)$,抛物线 $y^2 = 2px(p ＞ 0)$ 的焦点为 $F(\frac{p}{2},0)$,所以 $\frac{p}{2} = 1$,即 $p = 2$.所以抛物线方程 $Z:y^2 = 4x$.
当直线 $l$ 的斜率不存在时,直线 $l$ 的方程为 $x = 1$(易错:容易忽略斜率不存在的情况),代入抛物线 $Z$ 的方程得 $y = \pm 2$,此时 $|MN| = 4$,不满足题意;
当直线 $l$ 的斜率存在时,设直线 $l$ 的方程为 $y = k(x - 1)$.
由抛物线的定义知 $|MF| = x_1 + 1$,$|NF| = x_2 + 1$,所以 $|MN| = x_1 + x_2 + 2 = 8$,即 $x_1 + x_2 = 6$.
将 $y = k(x - 1)$ 代入 $y^2 = 4x$,整理得 $k^2x^2 - 2(k^2 + 2)x + k^2 = 0$,所以 $x_1 + x_2 = \frac{2(k^2 + 2)}{k^2} = 6$(方法:利用韦达定理建立方程).解得 $k = \pm 1$,所以直线 $l$ 的方程为 $y = x - 1$ 或 $y = -x + 1$.(17分)

19. （17分）已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$中，点$A$，$C$分别是$E$的左、上顶点，$|AC|=\sqrt{5}$，且$E$的焦距为$2\sqrt{3}$。
（1）求$E$的方程和离心率。
（2）过点$(1,0)$且斜率不为零的直线交椭圆于$R$，$S$两点，设直线$RS$，$CR$，$CS$的斜率分别为$k$，$k_{1}$，$k_{2}$，若$k_{1}+k_{2}=-3$，求$k$的值。

答案： 19.椭圆的方程与几何性质+直线与椭圆的位置关系
解:
(1)因为 $|AC| = \sqrt{5}$,所以 $a^2 + b^2 = 5$.(2分)
又因为焦距为 $2\sqrt{3}$,所以 $c = \sqrt{3}$.
所以 $a^2 - b^2 = 3$.(4分)
联立两式解得 $a = 2$,$b = 1$.(5分)
所以椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$.其离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.(7分)
(2)由
(1)知 $C(0,1)$,设 $R(x_1,y_1)$,$S(x_2,y_2)$,$x_1x_2 \neq 0$,所以 $k_1 = \frac{y_1 - 1}{x_1}$,$k_2 = \frac{y_2 - 1}{x_2}$.(8分)
由题意知,直线 $RS:y = k(x - 1)(k \neq \pm 1)$,代入 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$,得 $(4k^2 + 1)x^2 - 8k^2x + 4k^2 - 4 = 0$,$\Delta ＞ 0$,则有 $x_1 + x_2 = \frac{8k^2}{4k^2 + 1}$,$x_1x_2 = \frac{4k^2 - 4}{4k^2 + 1}$(题眼)(提示:韦达定理).(10分)
因为 $k_1 + k_2 = -3$,所以 $k_1 + k_2 = \frac{y_1 - 1}{x_1} + \frac{y_2 - 1}{x_2} = \frac{x_2y_1 - x_2 + x_1y_2 - x_1}{x_1x_2} = \frac{x_2y_1 + x_1y_2 - (x_1 + x_2)}{x_1x_2} = \frac{2kx_1x_2 - (k + 1)(x_1 + x_2)}{x_1x_2} = -3$,即 $(2k + 3)x_1x_2 - (k + 1)(x_1 + x_2) = 0$.
所以 $(2k + 3) · \frac{4k^2 - 4}{4k^2 + 1} - (k + 1) · \frac{8k^2}{4k^2 + 1} = 0$.
整理得 $k^2 - 2k - 3 = 0$,解得 $k = 3$ 或 $k = -1$.
又 $k \neq \pm 1$,所以 $k = 3$.
综上所述,$k$ 的值为 $3$.(17分)