《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合人教版》

13. 新考向 某校计划为元旦晚会购买一批销售单价为 12 元的商品作为抽奖奖品,供货商提供两种供货方案.
方案一:若购买超过 20 件,超过部分按标价打八折出售;
方案二:若购买超过 15 件,所有商品每件让利 1 元,且超过部分按标价打九折出售.
设购买奖品的数量为$x$件,按方案一购买所需的费用为$y_{1}$元,按方案二购买所需的费用为$y_{2}$元,函数图象如右下图所示.
(1)请分别求出$y_{1},y_{2}$关于$x$的函数表达式;
(2)求点$N$的坐标,并指出点$N$表示的实际意义;
(3)若学校购买这批奖品的预算为 1600 元,则方案____一更合算(填“一”或“二”).

答案： 解:
(1) 当 $0\leq x\leq 20$ 时，$y_1 = 12x$；当 $x\gt 20$ 时，$y_1 = 20\times 12 + (x - 20)\times 12\times 0.8 = 9.6x + 48$。当 $0\leq x\leq 15$ 时，$y_2 = 12x$；当 $x\gt 15$ 时，$y_2 = 15\times 12 + (x - 15)\times 12\times 0.9 - x\times 1 = 9.8x + 18$。综上所述：$y_1 = \begin{cases}12x, & 0\leq x\leq 20, \\ 9.6x + 48, & x\gt 20.\end{cases}$ $y_2 = \begin{cases}12x, & 0\leq x\leq 15, \\ 9.8x + 18, & x\gt 15.\end{cases}$
(2) 令 $9.6x + 48 = 9.8x + 18$，解得 $x = 150$。对于 $y_1 = 9.6x + 48$，当 $x = 150$ 时，$y = 1488$，故点 $N$ 的坐标为 $(150, 1488)$。点 $N$ 表示的实际意义：当该校购买 150 件奖品时，按方案一和按方案二购买所需费用一样多，为 1488 元。
(3) -

14. 学科素养 下表中的两组对应值满足一次函数$y=kx+b$,现画出了它的图象为直线$l$,如下图所示. 某同学为观察$k,b$对图象的影响,将上面函数中的$k$与$b$交换位置后得到另一个一次函数,设其图象为直线$l'$.
(1)求直线$l$的函数表达式;
(2)请在图上画出直线$l'$(不要求列表计算),并求直线$l'$被直线$l$和$y$轴所截线段的长.
|$x$|-1|0|
|----|----|----|
|$y$|-2|1|

答案：
解:
(1) 在 $y = kx + b$ 中，当 $x = -1$ 时，$y = -2$，即 $-k + b = -2$；当 $x = 0$ 时，$y = 1$，即 $b = 1$，将 $b = 1$ 代入 $-k + b = -2$，得 $k = 3$，
∴ 直线 $l$ 的函数表达式为 $y = 3x + 1$。
(2)
∵ 直线 $l$ 的函数表达式为 $y = 3x + 1$，
∴ 直线 $l'$ 的函数表达式为 $y = x + 3$。如图，$l'$ 为所画直线。由 $x + 3 = 3x + 1$，得 $x = 1$，
∴ $y = 3\times 1 + 1 = 4$，
∴ 两直线的交点为 $(1, 4)$。
∵ 直线 $l'$：$y = x + 3$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0, 3)$，
∴ 直线 $l'$ 被直线 $l$ 和 $y$ 轴所截线段的长为 $\sqrt{1^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{2}$