《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合人教版》

17. 计算：$2024^{0}-(-3)-\sqrt {12}+\sqrt {3}+(\frac {1}{2})^{-1}$.

答案： 【解析】：本题可根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及去括号法则、二次根式的化简来分别计算各项，再进行加减运算。
- **步骤一：根据零指数幂的运算法则计算$2024^0$的值**
零指数幂的运算法则为：任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1$（$a\neq0$）。
因为$2024\neq0$，所以$2024^0 = 1$。
- **步骤二：去括号计算$-(-3)$的值**
根据去括号法则：负负得正，可得$-(-3)=3$。
- **步骤三：化简$\sqrt{12}$**
将$12$分解因数可得$12 = 4\times3$，根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$（$a\geq0,b\geq0$），可得$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
- **步骤四：根据负整数指数幂的运算法则计算$(\frac{1}{2})^{-1}$的值**
负整数指数幂的运算法则为：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数）。
所以$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
- **步骤五：将上述各项的值代入原式进行计算**
$\begin{aligned}&2024^0 - (-3) - \sqrt{12} + \sqrt{3} + (\frac{1}{2})^{-1}\\=&1 + 3 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} + 2\\=&(1 + 3 + 2)+(-2\sqrt{3} + \sqrt{3})\\=&6 - \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】：$6 - \sqrt{3}$

18. 已知$a+b=-3,ab=2$，求$\sqrt {\frac {b}{a}}+\sqrt {\frac {a}{b}}$的值.
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

答案： 【解析】：
因为$a + b = - 3\lt0$，$ab = 2\gt0$，所以$a\lt0$，$b\lt0$。
则$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{ab}{a^{2}}}+\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}$，因为$a\lt0$，$b\lt0$，所以$\sqrt{\frac{ab}{a^{2}}}+\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{ab}}{-a}+\frac{\sqrt{ab}}{-b}=-\sqrt{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$。
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$进行通分可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b + a}{ab}$。
已知$a + b = - 3$，$ab = 2$，将其代入$-\sqrt{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$可得：
$-\sqrt{2}\times\frac{-3}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

19. 新考向 某动物园利用杠杆原理称小狗：如右下图，在点$P$处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有小狗的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点$A,B$处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为$k(N)$.若铁笼固定不动，移动弹簧秤使$BP$扩大到原来的$n(n＞1)$倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为$\frac{k}{n}$.

答案： 【解析】：设装有小狗的铁笼重力为$G$，$AP = a$，$BP = b$。
根据杠杆原理$F_1l_1 = F_2l_2$（动力$\times$动力臂$=$阻力$\times$阻力臂），当弹簧秤读数为$k(N)$时，有$k\times BP=G\times AP$，即$kb = Ga$。
当$BP$扩大到原来的$n$倍时，设此时弹簧秤读数为$F$，则$F\times nBP=G\times AP$，即$F\times nb = Ga$。
因为$kb = Ga$，所以$F\times nb=kb$，由于$b\neq0$（$BP$长度不为$0$），等式两边同时除以$nb$，可得$F=\frac{k}{n}$。
【答案】：$\frac{k}{n}$

20. 跨学科·物理 据研究，高空抛物，物体下落的时间$t$（单位：$s$）和高度$h$（单位：$m$）近似满足公式：$t=\sqrt {\frac {h}{5}}$（不考虑风速的影响）.
（1）求从$40m$高空抛物，物体落地的时间.$2\sqrt{2}s$
（2）小明说从$80m$高空抛物，物体落地时间是（1）中所求时间的$2$倍，他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.不正确，理由：当$h = 80m$时，$t=\sqrt{\frac{80}{5}} = 4s$，（1）中时间为$2\sqrt{2}s$，$2\sqrt{2}×2 = 4\sqrt{2}s\neq4s$
（3）已知高空坠落物体的重力势能（单位：焦耳）$=10×$物体质量（单位：$kg$）$×$高度（单位：$m$），某质量为$0.05kg$的鸡蛋从高处落下，经过$6s$后落在地上，这个鸡蛋产生的重力势能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要$65$焦耳的重力势能）.$90$焦耳，启示：高空抛物非常危险，会对他人造成严重伤害，要杜绝高空抛物行为

答案： 【解析】：
（1）已知公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$，当$h = 40m$时，将$h = 40$代入公式可得：
$t=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}(s)$。
（2）当$h = 80m$时，把$h = 80$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，则$t=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4(s)$。
由（1）知从$40m$高空抛物落地时间为$2\sqrt{2}s$，$2\sqrt{2}\times2 = 4\sqrt{2}(s)\neq4s$，所以小明的说法不正确。
（3）已知$t = 6s$，代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，可得$6=\sqrt{\frac{h}{5}}$，两边同时平方得$36=\frac{h}{5}$，解得$h = 180m$。
已知重力势能$=10\times$物体质量$\times$高度，物体质量$m = 0.05kg$，高度$h = 180m$，则重力势能$=10\times0.05\times180 = 90$（焦耳）。
因为$90$焦耳$＞65$焦耳，所以高空抛物非常危险，会对他人造成严重伤害，我们要杜绝高空抛物行为。
【答案】：
（1）$2\sqrt{2}s$；
（2）不正确，理由：当$h = 80m$时，$t=\sqrt{\frac{80}{5}} = 4s$，（1）中时间为$2\sqrt{2}s$，$2\sqrt{2}\times2 = 4\sqrt{2}s\neq4s$；
（3）$90$焦耳，启示：高空抛物非常危险，会对他人造成严重伤害，要杜绝高空抛物行为。

21. 已知三角形三边长分别为$a,b,c$，其中$a,b$满足$\sqrt {(a-6)^{2}}+\sqrt {b-8}=0$，那么这个三角形最长边$c$的取值范围是多少？

答案： 【解析】：本题可先根据非负数的性质求出$a$、$b$的值，再根据三角形三边关系求出最长边$c$的取值范围。
- **步骤一：根据非负数的性质求出$a$、$b$的值**
已知$\sqrt{(a - 6)^2} + \sqrt{b - 8} = 0$。
因为一个数的平方的算术平方根一定是非负的，即$\sqrt{(a - 6)^2}\geq0$；二次根式的值也是非负的，即$\sqrt{b - 8}\geq0$。
两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$，可据此列出：
$\begin{cases}\sqrt{(a - 6)^2}=0\\\sqrt{b - 8}=0\end{cases}$
分别求解上述方程：
对于$\sqrt{(a - 6)^2}=0$，等式两边同时平方可得$(a - 6)^2 = 0$，开方可得$a - 6 = 0$，解得$a = 6$。
对于$\sqrt{b - 8}=0$，等式两边同时平方可得$b - 8 = 0$，解得$b = 8$。
- **步骤二：根据三角形三边关系求出最长边$c$的取值范围**
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知$a = 6$，$b = 8$，所以$b - a\lt c\lt a + b$，即$8 - 6\lt c\lt 6 + 8$，也就是$2\lt c\lt 14$。
又因为$c$是最长边，所以$c\gt b = 8$。
综合可得$8\lt c\lt 14$。
【答案】：$8\lt c\lt 14$