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13.(12分)用适当的方法解下列方程:
(1)$(x-2)^{2}-16=0;$
(2)$x^{2}-2x-15=0;$
(3)$(x+1)(2x-3)=2.$
(1)$(x-2)^{2}-16=0;$
(2)$x^{2}-2x-15=0;$
(3)$(x+1)(2x-3)=2.$
答案：
(1)解：$ x_{1} = 6 $，$ x_{2} = -2 $。
(2)解：$ x_{1} = 5 $，$ x_{2} = -3 $。
(3)解：$ x_{1} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4} $，$ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4} $。
(1)解：$ x_{1} = 6 $，$ x_{2} = -2 $。
(2)解：$ x_{1} = 5 $，$ x_{2} = -3 $。
(3)解：$ x_{1} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4} $，$ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4} $。
14.(8分)一元二次方程$a(x^{2}+1)+b(x+2)+c=0$化为一般形式后为$6x^{2}+10x-1=0$,求以a,b为两条对角线长的菱形的面积.
答案：
解：整理，得$ ax^{2} + bx + a + 2b + c = 0 $。
∵化为一般式后为$ 6x^{2} + 10x - 1 = 0 $，
∴$ a = 6 $，$ b = 10 $，
∴$ S_{菱形} = \frac{1}{2} × 6 × 10 = 30 $。
∵化为一般式后为$ 6x^{2} + 10x - 1 = 0 $，
∴$ a = 6 $，$ b = 10 $，
∴$ S_{菱形} = \frac{1}{2} × 6 × 10 = 30 $。
15.(8分)将一块长方形桌布铺在长为3m、宽为2m的长方形桌面上,各边下垂的长度相同,并且桌布的面积是桌面面积的2倍,求桌布下垂的长度.
答案：
解：桌布下垂的长度为0.5m。
16.(10分)如图,利用足够长的一段围墙,用篱笆围一个长方形的场地,中间用篱笆分割出2个小长方形,与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门,总共用去篱笆34米,设边AB的长为x米.
(1)当长方形ABCD的面积为96米²时,求边AB为多少米?
(2)用这些篱笆能使围成的长方形ABCD面积是110米²吗?说明理由.
(1)当长方形ABCD的面积为96米²时,求边AB为多少米?
(2)用这些篱笆能使围成的长方形ABCD面积是110米²吗?说明理由.
答案：
1. （1）
首先，求$BC$的长度：
已知$AB = x$米，因为与墙平行的一边上各开一扇宽为$1$米的门，总共用去篱笆$34$米，所以$BC=(34 + 2-3x)$米（$3x$是三条与$AB$垂直的篱笆长度，$+2$是因为门占的长度要补回来），即$BC=(36 - 3x)$米。
然后，根据长方形面积公式$S = AB× BC$：
已知$S = 96$米²，由$S=AB× BC$可得方程$x(36 - 3x)=96$。
化简方程：
展开得$36x-3x^{2}=96$，两边同时除以$-3$得$x^{2}-12x + 32 = 0$。
接着，求解一元二次方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-12$，$c = 32$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×1×32=144 - 128 = 16$。
则$x=\frac{12\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{12\pm4}{2}$。
当$x=\frac{12 + 4}{2}$时，$x = 8$；当$x=\frac{12-4}{2}$时，$x = 4$。
最后，检验：
当$x = 8$时，$BC=36-3×8=12$米；当$x = 4$时，$BC=36-3×4 = 24$米。
所以$AB$的长为$4$米或$8$米。
2. （2）
假设能围成面积是$110$米²的长方形：
由$S=x(36 - 3x)$，令$x(36 - 3x)=110$。
化简方程：
展开得$36x-3x^{2}=110$，两边同时除以$-3$得$x^{2}-12x+\frac{110}{3}=0$，即$3x^{2}-36x + 110 = 0$。
然后，计算判别式$\Delta$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 3$，$b=-36$，$c = 110)$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4×3×110$。
先计算$(-36)^{2}=1296$，$4×3×110 = 1320$。
则$\Delta=1296-1320=-24\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以用这些篱笆不能使围成的长方形$ABCD$面积是$110$米²。
综上，（1）$AB$为$4$米或$8$米；（2）不能，理由如上述步骤。
首先，求$BC$的长度：
已知$AB = x$米，因为与墙平行的一边上各开一扇宽为$1$米的门，总共用去篱笆$34$米，所以$BC=(34 + 2-3x)$米（$3x$是三条与$AB$垂直的篱笆长度，$+2$是因为门占的长度要补回来），即$BC=(36 - 3x)$米。
然后，根据长方形面积公式$S = AB× BC$：
已知$S = 96$米²，由$S=AB× BC$可得方程$x(36 - 3x)=96$。
化简方程：
展开得$36x-3x^{2}=96$，两边同时除以$-3$得$x^{2}-12x + 32 = 0$。
接着，求解一元二次方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-12$，$c = 32$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×1×32=144 - 128 = 16$。
则$x=\frac{12\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{12\pm4}{2}$。
当$x=\frac{12 + 4}{2}$时，$x = 8$；当$x=\frac{12-4}{2}$时，$x = 4$。
最后，检验：
当$x = 8$时，$BC=36-3×8=12$米；当$x = 4$时，$BC=36-3×4 = 24$米。
所以$AB$的长为$4$米或$8$米。
2. （2）
假设能围成面积是$110$米²的长方形：
由$S=x(36 - 3x)$，令$x(36 - 3x)=110$。
化简方程：
展开得$36x-3x^{2}=110$，两边同时除以$-3$得$x^{2}-12x+\frac{110}{3}=0$，即$3x^{2}-36x + 110 = 0$。
然后，计算判别式$\Delta$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 3$，$b=-36$，$c = 110)$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4×3×110$。
先计算$(-36)^{2}=1296$，$4×3×110 = 1320$。
则$\Delta=1296-1320=-24\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以用这些篱笆不能使围成的长方形$ABCD$面积是$110$米²。
综上，（1）$AB$为$4$米或$8$米；（2）不能，理由如上述步骤。
17.(10分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+k+1=0$有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果$x_{1},x_{2}$是方程的两个根,令$w=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}+k$,求w的最大值.
(1)求k的取值范围;
(2)如果$x_{1},x_{2}$是方程的两个根,令$w=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}+k$,求w的最大值.
答案：
解：
(1)k的取值范围为$ k \leqslant \frac{5}{4} $。
(2)w的最大值为8。
(1)k的取值范围为$ k \leqslant \frac{5}{4} $。
(2)w的最大值为8。
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