《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

22. (2024·新会区校级月考)抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 可以由抛物线 $ y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 ) $ 平移得到,通常先求出 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的顶点坐标,再根据 $ y = a x ^ { 2 } $ 的顶点坐标 $ ( 0,0 ) $,可发现其图象的平移过程.请根据你对函数图象平移的理解,解答下列问题.
【初步感知】
(1)将抛物线 $ y = - x ^ { 2 } $ 向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度可得 $ y = - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $ 的图象.
【深入探究】
(2)将 $ y = - x ^ { 2 } $ 的图象平移,使得平移后的图象始终过点 $ ( 0,1 ) $,且对任意的自变量 $ x $ 的值,所对应的函数值都不大于10,则最多将 $ y = - x ^ { 2 } $ 的图象向右平移多少个单位长度?
【拓展提升】
(3)将 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 的图象平移后得到 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 $ 的图象,且使得 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 $ 的图象与直线 $ y = - b x + 3 $ 在 $ x $ 轴上方只有一个交点,直接写出 $ b $ 的取值范围.
(2)设将$ y = - x ^ { 2 } $的图象向右平移$ h ( h ＞ 0 ) $个单位长度，向上平移$ k ( k ＞ 0 ) $个单位长度，
则平移后的抛物线为$ y = - ( x - h ) ^ { 2 } + k $。
将$ y = - x ^ { 2 } $的图象平移，使得平移后的图象始终过点$ ( 0, 1 ) $，且对任意自变量$ x $的值，所对应的函数值都不大于10，
$ \therefore - ( 0 - h ) ^ { 2 } + k = 1 $，
$ - ( x - h ) ^ { 2 } + k \leq 10 $，
整理得$ - ( x - h ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } \leq 9 $，
$ \therefore ( x - h ) ^ { 2 } \geq h ^ { 2 } - 9 $。
$ \because x $为任意实数，$ \therefore h ^ { 2 } - 9 \leq 0 $，$ h ^ { 2 } \leq 9 $。
$ \because h ＞ 0 $，$ \therefore 0 ＜ h \leq 3 $。
$ \therefore $最多将$ y = - x ^ { 2 } $的图象向右平移3个单位长度。
(3)$ b = 1 $或$ b = - 1 $或$ b \leq - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $或$ b \geq \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $

答案： 解：
(1)右2 上3
(2)设将$ y = - x ^ { 2 } $的图象向右平移$ h ( h ＞ 0 ) $个单位长度，向上平移$ k ( k ＞ 0 ) $个单位长度，
则平移后的抛物线为$ y = - ( x - h ) ^ { 2 } + k $。
将$ y = - x ^ { 2 } $的图象平移，使得平移后的图象始终过点$ ( 0, 1 ) $，且对任意自变量$ x $的值，所对应的函数值都不大于10，
$ \therefore - ( 0 - h ) ^ { 2 } + k = 1 $，
$ - ( x - h ) ^ { 2 } + k \leq 10 $，
整理得$ - ( x - h ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } \leq 9 $，
$ \therefore ( x - h ) ^ { 2 } \geq h ^ { 2 } - 9 $。
$ \because x $为任意实数，$ \therefore h ^ { 2 } - 9 \leq 0 $，$ h ^ { 2 } \leq 9 $。
$ \because h ＞ 0 $，$ \therefore 0 ＜ h \leq 3 $。
$ \therefore $最多将$ y = - x ^ { 2 } $的图象向右平移3个单位长度。
(3)①当平移后两个图象相切，只有一个交点时，$ - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 = - b x + 3 $，
即$ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 2 b x + 2 = 0 $，
$ \because $两函数图象相切，$ \therefore \Delta = ( - 2 b ) ^ { 2 } - 4 × \frac { 1 } { 2 } × 2 = 0 $，解得$ b _ { 1 } = 1 $，$ b _ { 2 } = - 1 $。
当$ b = 1 $时，两图象相交于点$ ( 2, 1 ) $；
当$ b = - 1 $时，两图象相交于点$ ( - 2, 1 ) $。
$ \because $点$ ( 2, 1 ) $，$ ( - 2, 1 ) $都在$ x $轴上方，
$ \therefore $当$ b = 1 $或$ b = - 1 $时，两图象在$ x $轴上方只有一个交点。
②当平移后两个图象不相切，在$ x $轴上方只有一个交点时，
$ \because y = - b x + 3 $与$ x $轴的交点为$ \left( \frac { 3 } { b }, 0 \right) $，
$ \therefore $当$ x = \frac { 3 } { b } $时，二次函数的值为$ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 3 } { b } \right) ^ { 2 } + b \left( \frac { 3 } { b } \right) + 1 = - \frac { 9 } { 2 b ^ { 2 } } + 4 $。
$ \because y = - b x + 3 $过定点$ ( 0, 3 ) $，
$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 $过定点$ ( 0, 1 ) $，
$ \therefore $当$ - \frac { 9 } { 2 b ^ { 2 } } + 4 = 0 $时，两图象在$ x $轴上方只有一个交点，另一个交点在$ x $轴下方，解得$ b _ { 1 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $，$ b _ { 2 } = - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $。
$ \because y = - b x + 3 $与$ x $轴的交点坐标为$ \left( \frac { 3 } { b }, 0 \right) $，
$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 $的对称轴为直线$ x = b $，
$ \therefore $分以下两种情况：
(i)$ y = - b x + 3 $与$ x $轴的交点横坐标大于$ 2 \sqrt { 2 } $且大于0，$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 $的对称轴大于$ \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $，
$ \therefore $此时两个图象的一个交点在第四象限，一个交点在第一象限。
(ii)$ y = - b x + 3 $与$ x $轴的交点横坐标大于$ - 2 \sqrt { 2 } $且小于0，$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + 1 $的对称轴小于$ - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $，
$ \therefore $此时两个图象的一个交点在第三象限，一个交点在第二象限。
$ \therefore $当$ b \leq - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $或$ b \geq \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $时，两图象在$ x $轴上方只有一个交点。
综上所述，$ b $的取值范围为$ b = 1 $或$ b = - 1 $或$ b \leq - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $或$ b \geq \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 } $。