《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

20. (6分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,过点$C作CE\perp BA$,垂足为点$E$,延长$CE至点F$,使$CF= BA$,过点$F作FD\perp AC$,垂足为点$D$.求证：$\triangle ABC\cong \triangle FCD$.

答案： 证明：
∵ $F D \perp A C$，$C E \perp B A$，
∴ $ \angle A E C = \angle C D F = 90 ^ { \circ }$。
∴ $ \angle A + \angle A C E = \angle F + \angle D C F = 90 ^ { \circ }$。
∴ $ \angle A = \angle F$。在 $ \triangle A B C$ 与 $ \triangle F C D$ 中，$\begin{cases} \angle A C B = \angle F D C = 90 ^ { \circ } \\ \angle A = \angle F \\ AB = FC \end{cases}$，
∴ $ \triangle A B C \cong \triangle F C D ( A A S )$。

21. (8分)如图,已知一次函数$y= kx+3的图象经过点A(1,4)$.
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)试判断点$B(-1,5)$,$C(0,3)$,$D(2,1)$是否在这个一次函数的图象上.

答案： 解：（1）
∵一次函数 $y = k x + 3$ 的图象经过点 $A ( 1 , 4 )$，
∴ $4 = k + 3$。
∴ $k = 1$。
∴这个一次函数的表达式为 $y = x + 3$。
（2）当 $x = - 1$ 时，$y = 2 \neq 5$，当 $x = 0$ 时，$y = 3$，当 $x = 2$ 时，$y = 5 \neq 1$，故点 $C$ 在这个一次函数的图象上，点 $B$，$D$ 不在这个一次函数的图象上。

22. (8分)如图,已知平面直角坐标系中,$A(-1,5)$,$B(2,0)$,$C(-3,-1)$.
(1)求出$\triangle ABC$的面积；
(2)写出点$A关于直线y= 3的对称点A_1$的坐标.

答案： 解：（1）$S _ { \triangle A B C } = 5 \times 6 - \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 6 - \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 5 - \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times 5 = 14$。
（2）$A _ { 1 } ( - 1,1 )$。

23. (9分)如图,点$O是菱形ABCD$对角线的交点,过点$C作CE// OD$,过点$D作DE// AC$,$CE与DE相交于点E$.
(1)求证：四边形$OCED$是矩形；
(2)若$AB= 4$,$\angle ABC= 60^{\circ}$,求矩形$OCED$的面积.

答案： （1）证明：
∵ $C E // O D$，$D E // A C$，
∴四边形 $O C E D$ 是平行四边形。又
∵四边形 $A B C D$ 是菱形，
∴ $A C \perp B D$，即 $ \angle C O D = 90 ^ { \circ }$。
∴四边形 $O C E D$ 是矩形。
（2）解：
∵在菱形 $A B C D$ 中，$A B = 4$，
∴ $A B = B C = C D = 4$。又
∵ $ \angle A B C = 60 ^ { \circ }$，
∴ $ \triangle A B C$ 是等边三角形。
∴ $A C = 4$。
∴ $O C = \frac { 1 } { 2 } A C = 2$。
∴ $O D = \sqrt { 4 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 3 }$。
∴矩形 $O C E D$ 的面积是 $2 \sqrt { 3 } \times 2 = 4 \sqrt { 3 }$。