《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

21. (8分)已知关于$x的一元二次方程mx^{2}+2(m+1)x+m-1= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 8$,求$m$的值.

答案： 解：
(1)由题意得$[2(m + 1)]^2 - 4×m×(m - 1) ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{1}{3}$。又$m ≠ 0$，所以$m$的取值范围是$m ＞ -\frac{1}{3}$且$m ≠ 0$。
(2)因为该方程有两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{2m + 2}{m}$，$x_1x_2 = \frac{m - 1}{m}$。又$x_1^2 + x_2^2 = 8$，即$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8$，所以$(-\frac{2m + 2}{m})^2 - 2×\frac{m - 1}{m} = 8$，解得$m_1 = 2$，$m_2 = -\frac{1}{3}$。经检验，$m_1 = 2$，$m_2 = -\frac{1}{3}$是原方程的解。又$m ＞ -\frac{1}{3}$且$m ≠ 0$，所以$m = 2$。

22. (8分)如图,已知四边形$ABCD$是平行四边形,$DE\perp AB$,$DF\perp BC$,垂足分别是$E$,$F$,并且$DE= DF$.求证：
(1)$\triangle ADE\cong\triangle CDF$；
(2)四边形$ABCD$是菱形.

答案： 证明：
(1)由$\square ABCD$可得$∠A = ∠C$。又
∵$DE⊥AB$，$DF⊥BC$，
∴$∠DEA = ∠DFC = 90^{\circ}$。又
∵$DE = DF$，
∴$\triangle ADE ≌ \triangle CDF(AAS)$。
(2)
∵$\triangle ADE ≌ \triangle CDF$，
∴$AD = CD$。
∴$\square ABCD$是菱形。

23. (9分)已知一次函数$y= 2x+3与一次函数y= -2x-1$的图象如图所示.
(1)求两函数的图象与$y轴的交点A$,$B$的坐标；

(2)求两函数的图象的交点$C$的坐标.

答案： 解：
(1)$A(0,3)$，$B(0,-1)$。
(2)联立两个一次函数的表达式，有$\begin{cases}y = 2x + 3,\\y = -2x - 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -1,\\y = 1.\end{cases}$
∴$C(-1,1)$。