《2025年53精准练七年级数学下册北师大版山西专版》

21. (10分)如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为$(3a + 2b)\text{ m}$，宽为$(2a + b)\text{ m}$；另一块长为$(a + b)\text{ m}$，宽为$(a - b)\text{ m}$。现将两块空地进行改造，计划在中间边长为$(a - b)\text{ m}$的正方形(阴影部分)中种花，其余部分种植草坪。
(1)求计划种植草坪的面积；
(2)已知$a = 30$，$b = 10$，若种植草坪的价格为30元/平方米，求种植草坪应投入的资金是多少元。

答案： 解：
(1)两块空地总面积为(3a + 2b)·(2a + b) + (a + b)(a - b) = 6a² + 7ab + 2b² + a² - b² = (7a² + 7ab + b²)m²，种花的面积为(a - b)² = (a² - 2ab + b²)m²，则种植草坪的面积为7a² + 7ab + b² - (a² - 2ab + b²) = (6a² + 9ab)m².
(2)当a = 30，b = 10时，6a² + 9ab = 6×30² + 9×30×10 = 8100，8100×30 = 243000(元).答：种植草坪应投入的资金是243000元.

22. (11分)我们知道，同底数幂的乘法法则为$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$(其中$a\neq0$，$m$，$n$为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数$m$，$n$的一种新运算：$f(m)\cdot f(n)=f(m + n)$(其中$m$，$n$为正整数)。
例如，若$f(3)=2$，则$f(6)=f(3 + 3)=f(3)\cdot f(3)=2\times2 = 4$，$f(9)=f(6 + 3)=f(6)\cdot f(3)=4\times2 = 8$。
(1)若$f(2)=5$，
①填空：$f(6)=$__________；
②当$f(2n)=25$时，求$n$的值。
(2)若$f(a)=3$，计算：$f(a)\cdot f(2a)\cdot f(3a)\cdots f(10a)$。

答案： 解：
(1)①125.
②因为25 = 5×5 = f
(2)·f
(2) = f(2 + 2)，f(2n) = 25，所以f(2 + 2) = f(2n)，所以4 = 2n，所以n = 2.
(2)因为f(2a) = f(a + a) = f(a)·f(a) = 3×3 = 3²，f(3a) = f(2a + a) = f(2a)·f(a) = 3²×3 = 3³，……f(10a) = 3¹⁰，所以f(a)·f(2a)·f(3a)·……·f(10a) = 3×3²×3³×……×3¹⁰ = 3^(1 + 2 + 3 + …… + 10) = 3⁵⁵.