21、设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。

　 (1)求函数的表达式，并求其定义域；

　 (2)当时，求函数的值域；

　 (3)是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：(1)，。

　 (2)∵，∴函数的定义域为，令，则，，

　　　 ∴，

∵时，，又时，递减，∴单调递增，

　　　 ∴，即函数的值域为。

　 (3)假设存在这样的自然数满足条件，令，则，

　　　 ∵，则，要满足值域为，则要满足，

　　　 　由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，

　　　 ∴，

　　 　又在上是增函数，在上是减函数，∴，

　　　 综上，得 　。

20、人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：

●截至05年6月底，俄罗斯人口为亿，人口密度每平方公里只有人；

●04年一年俄人口就减少了万，05年1月至5月共又减少了万；

●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约亿人口，比目前锐减。

试根据以上数据信息回答下列问题：

(1)以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？(保留三位小数)

(2)按第(1)小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人？

解：(1)由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少万人，

2005年6月底至2050年6月底共经过个月，若每月人口减少数相同，

则到2050年6月底俄罗斯的人口数约为万，即约为亿。

　 (2)设从05年6月底起，经个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人，

　　　 于是有，

　 ∴至少要经过个月，即年零个月，也就是到2078年7月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人。

19、求证：不存在虚数同时满足：①；②(为实数且)。

　 解：假设存在虚数同时满足两个条件，

即与假设矛盾，

　∴不存在虚数同时满足①②两个条件。

18、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，直线与抛物线交于点、，求向量和夹角的大小。

　解：，由抛物线的对称性，不妨设，则直线的方程为，

　　 把它代入，得，则，设向量和夹角为，

　　 则，由对称性，当时，结论相同。

　 ∴向量和夹角的大小为。

17、已知：向量，求：。

　解法一：由，又由条件得，∴，

　　　 　∴。

解法二：∵，

　　　 　∴。

16、若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是　　 (　 C　 )

　 A，； B，；　 C，；　 D，。

15、定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 )

　 A，；　　　　　　 　B，；　　　　　 　　C，；　　　　 　　D，。

14、已知等比数列中，，且，则　　　　　　　　　　　　　　 　　　(　 B　 )

　 A，；　　　　　 　　B，；　　　　　　 　C，；　　　　　 　　D，。

13、设都是实数，则“”是“”的　　　 条件　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

　 A，充分非必要；　　 　　B，必要非充分；　　 　C，充要；　　　　　 　D，既非充分又非必要。

12、如图，已知和都是正方形，且，，

若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体

构成集合M，则从集合M中任取两个向量恰为平行向量的概率是 (用分数表示结果)。