21、设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。

　 (1)求函数的表达式，并求其定义域；

　 (2)当时，求函数的值域；

　 (3)是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：(1)，。

　 (2)∵，∴函数的定义域为，令，则，，

　　　 ∴，

∵时，，又时，递减，∴单调递增，

　　　 ∴，即函数的值域为。

　 (3)假设存在这样的自然数满足条件，令，则，

　　　 ∵，则，要满足值域为，则要满足，

　　　 　由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，

　　　 ∴，

　　 　又在上是增函数，在上是减函数，∴，

　　　 综上，得 　。