《2026年优课堂给力A加八年级数学上册北师大版》

1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形$A，B，C，D$的面积分别是$3，5，2，3$，则$S_{正方形E}=$13。

答案： 13

2. 如图1是我国著名的汉代数学家赵爽为了证明勾股定理创制的“赵爽弦图”示意图。图中，边长为$c$的大正方形由四个全等的直角三角形围成，直角三角形的两直角边长分别为$a，b(a＜b)$，斜边长为$c$。
(1)请用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积。
方法1：$S_{阴影}=$$(b-a)^2$；
方法2：$S_{阴影}=$$c^2-2ab$；
根据以上两种方法，可以得到一个等式：$(b-a)^2=c^2-2ab$。
(2)某同学将图1中的4个三角形进行了运动变换，得到如图2所示的图形。若$a=6，b=8$，求阴影部分的面积。

答案：
(1)方法1：$(b-a)^2$；方法2：$c^2-2ab$；等式：$(b-a)^2=c^2-2ab$。
(2)因为$a=6$，$b=8$，所以$c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$。由图2可知，阴影部分面积等于$a^2+b^2$，即$100$。

3. 图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$；图2是以$c$为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

(1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形；
(2)用这个图形验证勾股定理；
(3)假设图1中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）。

答案：
(1) 所拼图形为直角梯形。示意图：两个直角三角形（直角边a,b，斜边c）和一个等腰直角三角形（直角边c）拼成直角梯形，梯形上底为a，下底为b，高为a+b；左侧直角三角形直角边a水平、b竖直，右侧直角三角形直角边b水平、a竖直，两直角三角形斜边相对，中间夹等腰直角三角形，其直角边分别与两直角三角形斜边重合。
(2) 证明：梯形面积$S=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=\frac{(a+b)^2}{2}$。又$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。则$\frac{(a+b)^2}{2}=ab+\frac{1}{2}c^2$，即$\frac{a^2+2ab+b^2}{2}=ab+\frac{c^2}{2}$，两边乘2得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，故$a^2+b^2=c^2$。
(3) 能。示意图：四个图1的直角三角形拼成边长为$a+b$的大正方形，中间形成边长为$|b-a|$的小正方形。