《2026年优课堂给力A加八年级数学上册北师大版》

1. 勾股定理的验证方法:①测量法;②数格子法;③拼图法(割补法)。
2. 通过面积验证勾股定理的3种常见图形

(1)如图1,大正方形的面积可表示为(a+b)²或2ab + c²，据此列等式化简。
(2)如图2,大正方形的面积可表示为c²或2ab + (a - b)²，据此列等式化简。
(3)如图3,梯形的面积可表示为(1/2)(a+b)²或ab + (1/2)c²，据此列等式化简。

答案：
(1)(a+b)²；2ab + c²
(2)c²；2ab + (a - b)²
(3)(1/2)(a+b)²；ab + (1/2)c²

例1 小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示的图案。如图2，连接长方形的对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”验证勾股定理。设$AE = a$，$DE = b$，$AD = c$，试说明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。


解：$\because AE = a$，$DE = b$，$AD = c$，
$\therefore S_{ 正方形EFGH}=EH^{2}=$$(a+b)^2$，
又$\because S_{ 正方形EFGH}=4S_{\triangle AED}+S_{ 正方形ABCD}$
$=4×$$\frac{1}{2}ab$$+$$c^2$，
$\therefore$$(a+b)^2$$=$$2ab + c^2$，
化简，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

答案： $(a+b)^2$；$\frac{1}{2}ab$；$c^2$；$(a+b)^2$；$2ab + c^2$

1. 如图，以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以$a$，$b$为底，$(a + b)$为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理。

答案： 梯形面积可以通过两种方式表达：
直接计算梯形面积：
$S = \frac{1}{2} (a + b) × (a + b) = \frac{1}{2}(a + b)^2$。
通过梯形内三个三角形的面积之和表达：
$S = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab$。
因为两者表达的是同一个梯形的面积，所以：
$\frac{1}{2}(a + b)^2 = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab$，
$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}c^2 + ab$，
$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$，
$a^2 + b^2 = c^2$。
所以验证了勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$。

例2 如图，有一盏由传感器$A$控制的灯，装在门上方离地面$4.5\ m$的墙上，任何东西只要移至该传感器周围$5\ m$及$5\ m$以内，灯就会自动发光，一位身高$1.5\ m$的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为4$ m$。
【方法点拨】勾股定理是直角三角形特有的重要定理之一，应用勾股定理需先找出或构造直角三角形。

答案： 4

2. 如图，直线$AB$是一条高速公路，$C$，$D$是两个村庄，它们到高速公路的距离分别为$AD = 10\ km$，$BC = 15\ km$，且$AB = 25\ km$。现要在$A$，$B$两点之间建一个服务站$E$，使得两个村庄到服务站的距离相等，那么服务站应距离$A$点15$ km$。

答案： 15