《2026年优课堂给力A加八年级数学上册北师大版》

例 1 如图，长方形纸片 $ABCD$ 中，已知 $BC = 8$，折叠纸片使 $AB$ 边与对角线 $AC$ 重合，点 $B$ 落在点 $F$ 处，折痕为 $AE$，且 $EF = 3$，求 $AB$ 的长。
解：由折叠可知，
$AB =$ AF，$BE =$ FE $=$ 3，
$\therefore CE =$ 8 - 3 = 5，
在 $Rt\triangle CEF$ 中，由勾股定理，得
$CF^{2} =$ $CE^{2} - EF^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$，则 $CF =$ 4，
设 $AB = AF = a$，则 $AC =$ a + 4，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，
$\because AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$，$\therefore$ $a^{2} + 8^{2} = (a + 4)^{2}$，
解得 $a =$ 6，$\therefore AB$ 的长是 6。

答案： 解：由折叠可知，
$AB =$ $AF$，$BE =$ $FE$ $=$ $3$，
$\therefore CE =$ $8 - 3 = 5$，
在$Rt\bigtriangleup CEF$中，由勾股定理，得
$CF^{2} =$ $CE^{2} - EF^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$，则$CF =$ $4$，
设$AB = AF = a$，则$AC =$ $a + 4$，
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，
$\because AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$，$\therefore$ $a^{2} + 8^{2} = (a + 4)^{2}$，
解得$a =$ $6$，$\therefore AB$的长是$6$。

1. 如图，长方形纸片 $ABCD$ 中，$AB = 10 cm$，
$BC = 8 cm$，$E$ 为 $BC$ 上的一点，将纸片沿 $AE$ 翻折，使点 $B$ 与 $CD$ 边上的点 $F$ 重合，
则线段 $EF$ 的长为5。

答案： 5

例 2 某数学课外活动小组的同学测量学校旗杆 $AB$ 的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多 $1$ 米，当他们把绳子拉直，绳子末端 $C$ 刚好接触地面时，此时绳子末端 $C$ 与旗杆的距离为 $5$ 米，求旗杆 $AB$ 的高度。

解：设 $AB = x$ 米，根据题意知，
$BC = 5$ 米，$AC =$ $x + 1$ 米，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得
$BC^{2} + AB^{2} = AC^{2}$，即
$5^{2} + x^{2} = (x + 1)^{2}$，
解得 $x =$ $12$。
答：旗杆 $AB$ 的高度为 $12$ 米。

答案： 解：设 $AB = x$ 米，根据题意知，
$BC = 5$ 米，$AC = (x + 1)$ 米，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得
$BC^{2} + AB^{2} = AC^{2}$，即
$5^{2} + x^{2} = (x + 1)^{2}$，
解得 $x = 12$。
答：旗杆 $AB$ 的高度为 $12$ 米。
（各空依次为：$x + 1$；$5^{2} + x^{2} = (x + 1)^{2}$；$12$；$12$）

2. 木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为 $6$ 分米，宽为 $4$ 分米，对角线为 $7$ 分米，则这扇纱窗 不合格（选填“合格”
或“不合格”）。

答案： 不合格

3. 有一根高 $10 m$ 的竹子在中部折断，竹梢触地面处离竹根 $3 m$ 远。设折断处离地面的高度为 $x m$，则可列方程为$ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $。

答案： $ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $

4. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 $AC$ 斜靠在右墙上，测得梯子顶端与地面之间 $AB = 2$ 米，梯子底端与右墙底端之间 $BC = 1.5$ 米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 $2.4$ 米，即 $DE = 2.4$ 米，则小巷的宽度为多少米？

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理，$AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2} + 1.5^{2}}=\sqrt{4 + 2.25}=\sqrt{6.25}= 2.5$（米）。
在$Rt\triangle CDE$中，$CD=\sqrt{CE^{2}-DE^{2}}$（因为梯子长度$CE = AC = 2.5$米），所以$CD = \sqrt{2.5^{2}-2.4^{2}}=\sqrt{(2.5 + 2.4)(2.5 - 2.4)}=\sqrt{4.9×0.1}=\sqrt{0.49}= 0.7$（米）。
小巷宽度$BD=BC + CD=1.5+0.7 = 2.2$（米）。
答：小巷的宽度为$2.2$米。