《2025年聚焦课堂六年级数学上册》

计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}$。

答案：

想：在计算过程中，利用裂项法，把原题转化成新的算式，使计算简便。

一个分数中分子是 1，分母是两个相邻自然数的积，可以化成两个分子是 1、分母分别是这两个连续自然数的分数的差，也就是$\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a + 1}$，

所以$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$。

仔细观察，不难发现算式中隐含的内在联系，除了首项和尾项，其余的都相互抵消，只剩下$1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$。

$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\\=&1-\frac{1}{100}\\=&\frac{99}{100}\end{aligned}$

计算。
1. $\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+…+\frac{1}{29×30}$
2. $\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+…+\frac{1}{22×25}$

答案： 1. $\frac{3}{10}$ 2.$\frac{8}{25}$