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2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版
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16. (15 分)
已知函数 $ f ( x ) $满足 $ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) - 2 ( x, y \in \mathbf { R } ) $，且 $ f ( 2 ) = 6 $。
(Ⅰ) 求 $ f ( 0 ) $，判断函数 $ g ( x ) = f ( x ) - 2 $的奇偶性，并证明你的结论；
(Ⅱ) 若对任意 $ x \neq y $，都有 $ [ f ( x ) - f ( y ) ] ( x - y ) ＞ 0 $成立，且当 $ x \in ( 0, 4 ] $时，不等式 $ f ( x ) + f ( \frac { 1 } { x } - m ) \geq 8 $恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围。
已知函数 $ f ( x ) $满足 $ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) - 2 ( x, y \in \mathbf { R } ) $，且 $ f ( 2 ) = 6 $。
(Ⅰ) 求 $ f ( 0 ) $，判断函数 $ g ( x ) = f ( x ) - 2 $的奇偶性，并证明你的结论；
(Ⅱ) 若对任意 $ x \neq y $，都有 $ [ f ( x ) - f ( y ) ] ( x - y ) ＞ 0 $成立，且当 $ x \in ( 0, 4 ] $时，不等式 $ f ( x ) + f ( \frac { 1 } { x } - m ) \geq 8 $恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围。
答案：
16.(Ⅰ)$2$ 奇函数 证明略 (Ⅱ)$(-\infty,0]$
抽象函数的单调性和奇偶性+不等式恒成立问题
解：(Ⅰ)令$x = 2,y = 0$，可得$f(2)=\frac{2}{2}=1$.函数$g(x)$为奇函数.
证明：$g(x)=f(x)-2$，由题可知，$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于坐标原点对称(题眼).$\because g(-x)=f(-x)-2$，$\therefore g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4=f(0)-2=0$，即$g(-x)=-g(x)$，$\therefore g(x)$为奇函数. (7分)
(Ⅱ)由已知当$x\neq y$时，$[f(x)-f(y)](x - y)＞0$成立，设$x＜y$，则$x - y＜0$，此时有$f(x)-f(y)＜0$，即$f(x)＜f(y)$(关键：函数单调性等价变形)，$\therefore f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数.
又$f(x)+f(\frac{1}{x}-m)\geqslant8$，即$f(x)+f(\frac{1}{x}-m)-2\geqslant6=f(2)$，$\therefore f(x+\frac{1}{x}-m)\geqslant f(2)$，$\therefore x+\frac{1}{x}-m\geqslant2$在$x\in(0,4]$时恒成立，即$m\leqslant x+\frac{1}{x}-2$在$x\in(0,4]$时恒成立.$\because x+\frac{1}{x}-2\geqslant2\sqrt{x·\frac{1}{x}}-2=0$，当且仅当$x = 1$时取等号(提醒：利用基本不等式注意等号成立的条件).$\therefore m\leqslant0$，$\therefore$实数$m$的取值范围是$(-\infty,0]$. (15分)
抽象函数的单调性和奇偶性+不等式恒成立问题
解：(Ⅰ)令$x = 2,y = 0$，可得$f(2)=\frac{2}{2}=1$.函数$g(x)$为奇函数.
证明：$g(x)=f(x)-2$，由题可知，$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于坐标原点对称(题眼).$\because g(-x)=f(-x)-2$，$\therefore g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4=f(0)-2=0$，即$g(-x)=-g(x)$，$\therefore g(x)$为奇函数. (7分)
(Ⅱ)由已知当$x\neq y$时，$[f(x)-f(y)](x - y)＞0$成立，设$x＜y$，则$x - y＜0$，此时有$f(x)-f(y)＜0$，即$f(x)＜f(y)$(关键：函数单调性等价变形)，$\therefore f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数.
又$f(x)+f(\frac{1}{x}-m)\geqslant8$，即$f(x)+f(\frac{1}{x}-m)-2\geqslant6=f(2)$，$\therefore f(x+\frac{1}{x}-m)\geqslant f(2)$，$\therefore x+\frac{1}{x}-m\geqslant2$在$x\in(0,4]$时恒成立，即$m\leqslant x+\frac{1}{x}-2$在$x\in(0,4]$时恒成立.$\because x+\frac{1}{x}-2\geqslant2\sqrt{x·\frac{1}{x}}-2=0$，当且仅当$x = 1$时取等号(提醒：利用基本不等式注意等号成立的条件).$\therefore m\leqslant0$，$\therefore$实数$m$的取值范围是$(-\infty,0]$. (15分)
17. (15 分)
已知实数 $ a $ 满足 $ a ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq 3 $，$ \log _ { a } 3 \leq \frac { 1 } { 2 } $。
(Ⅰ) 求实数 $ a $ 的取值范围；
(Ⅱ) 若 $ a ＞ 1 $，$ f ( x ) = m x ^ { a } + \ln ( 1 + x ) ^ { a } - a \ln ( 1 - x ) - 2 ( m \in \mathbf { R } ) $，且 $ f ( \frac { 1 } { 2 } ) = a $，求 $ f ( - \frac { 1 } { 2 } ) $的值。
已知实数 $ a $ 满足 $ a ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq 3 $，$ \log _ { a } 3 \leq \frac { 1 } { 2 } $。
(Ⅰ) 求实数 $ a $ 的取值范围；
(Ⅱ) 若 $ a ＞ 1 $，$ f ( x ) = m x ^ { a } + \ln ( 1 + x ) ^ { a } - a \ln ( 1 - x ) - 2 ( m \in \mathbf { R } ) $，且 $ f ( \frac { 1 } { 2 } ) = a $，求 $ f ( - \frac { 1 } { 2 } ) $的值。
答案：
17.(Ⅰ)$(0,1)\cup\{9\}$ (Ⅱ)$-13$
指数与对数不等式的解法+函数求值
解：(Ⅰ)由$a^{\frac{1}{2}}\leqslant3$，得$0\leqslant a\leqslant9$. ①
对于$\log_{a}3\leqslant\frac{1}{2}$，当$0＜a＜1$时，$\log_{a}3\leqslant\frac{1}{2}$显然成立；当$a＞1$时，$\log_{a}3\leqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow\log_{a}3\leqslant\log_{a}\sqrt{a}\Leftrightarrow a\geqslant9$，所以$a\in(0,1)\cup[9,+\infty)$. ②
由①②，得$a$的取值范围为$(0,1)\cup\{9\}$. (7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)，若$a＞1$，则$a = 9$，$f(x)=mx^{9}+\ln(1 + x)^{9}-9\ln(1 - x)-2$，
由$\begin{cases}(1 + x)^{2}＞0\\1 - x＞0\end{cases}$得函数的定义域为$\{x\mid -1＜x＜1\}$.
此时$f(x)=mx^{9}+9\ln(1 + x)-9\ln(1 - x)-2$，
所以$f(-x)=m(-x)^{9}+9\ln(1 - x)-9\ln(1 + x)-2$，所以$f(x)+f(-x)=-4$(题眼)，
又$f(\frac{1}{2})=9$，故$f(-\frac{1}{2})=-13$. (15分)
指数与对数不等式的解法+函数求值
解：(Ⅰ)由$a^{\frac{1}{2}}\leqslant3$，得$0\leqslant a\leqslant9$. ①
对于$\log_{a}3\leqslant\frac{1}{2}$，当$0＜a＜1$时，$\log_{a}3\leqslant\frac{1}{2}$显然成立；当$a＞1$时，$\log_{a}3\leqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow\log_{a}3\leqslant\log_{a}\sqrt{a}\Leftrightarrow a\geqslant9$，所以$a\in(0,1)\cup[9,+\infty)$. ②
由①②，得$a$的取值范围为$(0,1)\cup\{9\}$. (7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)，若$a＞1$，则$a = 9$，$f(x)=mx^{9}+\ln(1 + x)^{9}-9\ln(1 - x)-2$，
由$\begin{cases}(1 + x)^{2}＞0\\1 - x＞0\end{cases}$得函数的定义域为$\{x\mid -1＜x＜1\}$.
此时$f(x)=mx^{9}+9\ln(1 + x)-9\ln(1 - x)-2$，
所以$f(-x)=m(-x)^{9}+9\ln(1 - x)-9\ln(1 + x)-2$，所以$f(x)+f(-x)=-4$(题眼)，
又$f(\frac{1}{2})=9$，故$f(-\frac{1}{2})=-13$. (15分)
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