《2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版》

1. 将$-315^{\circ}$化为弧度,正确的是(C)

A.$-\dfrac{5\pi}{3}$
B.$-\dfrac{5\pi}{4}$
C.$-\dfrac{7\pi}{4}$
D.$\dfrac{\pi}{4}$

答案： 1.C 任意角 因为 $180°=\pi$，所以 $-315°=-\frac{315}{180}\pi=-\frac{7\pi}{4}$，故选 C.

2. 若角$\alpha$的终边经过点$P(-3,4)$,则$\sin\alpha+\tan\alpha$等于(A)

A.$-\dfrac{8}{15}$
B.$\dfrac{8}{15}$
C.$-\dfrac{29}{15}$
D.$-\dfrac{11}{15}$

答案： 2.A 任意角的三角函数 因为角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-3,4)$，所以 $\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=-\frac{4}{3}$（提示：三角函数的定义），所以 $\sin\alpha+\tan\alpha=\frac{4}{5}-\frac{4}{3}=-\frac{8}{15}$，故选 A.

3. 已知$\tan\alpha=-3$,则$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=$(B)

A.$\dfrac{4}{5}$
B.$-\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$-\dfrac{3}{5}$

答案： 3.B 同角三角函数的基本关系 因为 $\tan\alpha=-3$，所以 $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{1 - 9}{1 + 9}=-\frac{4}{5}$，故选 B.

4. 已知函数$f(x)=\dfrac{4}{x}-\log_{2}x$,下列区间中包含$f(x)$零点的区间是(C)

A.$(0,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,4)$
D.$(4,5)$

答案： 4.C 函数的单调性+零点存在定理 易知 $f(x)=\frac{4}{x}-\log_2x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(1)=4＞0$，$f(2)=1＞0$，$f(4)=-1＜0$，由零点存在定理可知，该函数的零点区间是 $(2,4)$，故选 C.

5. 若$a = 2^{0.3}$,$b=\log_{0.3}2$,$c = 0.3^{2}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为（ ）

A.$c\lt a\lt b$
B.$b\lt c\lt a$
C.$c\lt b\lt a$
D.$b\lt a\lt c$

答案： 5.B 指数函数、对数函数的单调性+指对数大小比较 由题可得，$a=2^{0.3}＞2^0=1=0.3^0＞0.3^2=c＞0=\log_{0.3}1＞\log_{0.3}2=b$，即 $b＜c＜a$，故选 B.

6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久. 最早关于扇面书画的文献记载,是王羲之书六角扇. 扇面书画发展到明清时期,折扇开始逐渐成为主流. 如图,该折扇扇面画的外弧长为 24,内弧长为 10,且该扇面画所在扇形的圆心角为 $120^{\circ}$,则该扇面画的面积约为$(\pi\approx3)$(C)


A.185
B.180
C.119
D.120

答案： 6.C 扇形的弧长公式+扇环的面积公式 因为该折扇扇面画的外弧长为 $24$，其所在扇形的圆心角为 $120°=\frac{2\pi}{3}$，所以可得其所在大扇形的半径 $R=\frac{24}{\frac{2\pi}{3}}=\frac{36}{\pi}$（提示：扇形的弧长 $l = \alpha r$，其中 $\alpha$ 为扇形的圆心角，$r$ 为扇形半径），同理可得，扇面画所在小扇形的半径 $r=\frac{10}{\frac{2\pi}{3}}=\frac{15}{\pi}$，所以扇面画所在扇环的母线长为 $\frac{36}{\pi}-\frac{15}{\pi}=\frac{21}{\pi}$，所以该扇面画的面积 $S=\frac{1}{2}×(10 + 24)×\frac{21}{\pi}=\frac{357}{\pi}\approx119$，故选 C.

7. 对于函数$f(x)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$,下列说法正确的是(C)

A.函数$f(x)$的图象可由函数$y = \sin2x$的图象向右平移$\dfrac{\pi}{3}$个单位长度得到
B.函数$f(x)$的图象可由函数$y=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变得到
C.若$a\neq b$且$f(a)=f(b)=0$,则$\vert a - b\vert$的最小值为$\dfrac{\pi}{2}$
D.若$f\left(x+\dfrac{\varphi}{2}\right)$为偶函数,则$\varphi=k\pi+\dfrac{\pi}{6}$,$k\in\mathbf{Z}$

答案： 7.C 三角函数的图象与性质 已知函数 $f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$（题眼）。对于 A，函数 $y = \sin 2x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后得到的函数的图象的解析式为 $y=\sin[2(x-\frac{\pi}{3})]=\sin(2x-\frac{2\pi}{3})$，所以 A 错误；对于 B，函数 $y=\sin(x-\frac{\pi}{3})$ 图象上各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，所得函数的图象的解析式为 $y=\sin(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{3})$（提示：横坐标伸长，周期变大，$\omega$ 变小），所以 B 错误；对于 C，因为函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，由 $f(a)=f(b)=0$ 可知 $a,b$ 为函数 $f(x)$ 的两个零点，则两个零点之间的最短距离为半个周期，所以 $|a - b|_{\min}=\frac{\pi}{2}$，所以 C 正确；对于 D，因为 $f(x+\frac{\varphi}{2})=\sin(2x+\varphi-\frac{\pi}{3})$ 是偶函数，所以 $\varphi-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}$，即 $\varphi=k\pi+\frac{5\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$，所以 D 错误，故选 C.

8. 已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,$f(1 + x)$为偶函数,且当$0\lt x\leqslant1$时,$f(x)=4^{x}-1$,则(D)

A.$f(x)$的周期为 2
B.$f(1)+f(2)+·s + f(2023)=3$
C.$g(x)=f(x)+\dfrac{1}{2}x - 1$的所有零点之和为 16
D.$f(x)\sin\dfrac{\pi x}{2}\geqslant0$

答案： 8.D 函数的基本性质
【思维导图】已知条件 $\begin{cases} 函数的奇偶性、对称性 \to f(x)=f(x + 4) \to 函数的周期性 \to 判断 A; \\ 当 0＜x\leq1 时，f(x)=4^x - 1 \\ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0 \to 求值 \to 判断 B; \\ 令 g(x)=0 \to 转化为求两函数的图象交点 \to 作出函数的大致图象 \to 交点横坐标 \to 判断 C; \\ 观察图象 \to 分别求出 f(x)\geq0,f(x)\leq0 时 x 的取值范围; \\ 再求出 \sin\frac{\pi x}{2}\geq0,\sin\frac{\pi x}{2}\leq0 时 x 的取值范围 \to \forall x\in\mathbf{R},f(x)\sin\frac{\pi x}{2}\geq0 恒成立 \to 判断 D. \end{cases}$
因为函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，所以 $f(0)=0$，且 $f(-x)=-f(x)$。又因为 $f(1 + x)$ 为偶函数，则可知函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，所以有 $f(2 - x)=f(x)$，所以 $f(-x)=-f(2 - x)=f(x + 4)$，所以函数 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的周期函数，所以 A 错误；当 $0＜x\leq1$ 时，$f(x)=4^x - 1$（题眼），所以 $f(1)=3$，$f(2)=f(0)=0$，$f(3)=-f(-3)=-f(1)=-3$，$f(4)=f(0)=0$，所以 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$（关键：利用函数的奇偶性及对称性确定一个周期内的函数值之和），所以 $f(1)+f(2)+f(3)+·s + f(2023)=f(1)+f(2)+f(3)=0$，所以 B 错误；
函数 $g(x)$ 的零点即为方程 $f(x)+\frac{1}{2}x - 1=0$ 的实数根，即为函数 $y = f(x)$ 的图象与直线 $y=1-\frac{1}{2}x$ 的交点，在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的大致图象，结合图象可知直线 $y=1-\frac{1}{2}x$ 与函数 $y = f(x)$ 的图象共有 $7$ 个交点，且它们的交点关于点 $(2,0)$ 成中心对称，所以这 $7$ 个交点横坐标之和为 $14$，所以 C 错误；结合图象可知，对于函数 $f(x)$，当 $x\in[4k,4k + 2],k\in\mathbf{Z}$ 时，$f(x)\geq0$，当 $x\in[4k + 2,4k + 4],k\in\mathbf{Z}$ 时，$f(x)\leq0$。令 $\sin\frac{\pi x}{2}\geq0$，即 $2k\pi\leq\frac{\pi x}{2}\leq\pi + 2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得 $4k\leq x\leq4k + 2,k\in\mathbf{Z}$，同理令 $\sin\frac{\pi x}{2}\leq0$，解得 $4k + 2\leq x\leq4k + 4,k\in\mathbf{Z}$，所以 $\forall x\in\mathbf{R},f(x)\sin\frac{\pi x}{2}\geq0$ 恒成立，所以 D 正确，故选 D.