《2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版》

1. 设 $ f:x \to x^2 $ 是集合 $ A $ 到集合 $ B $ 的函数，如果集合 $ B = \{4\} $，那么集合 $ A $ 不可能是(D)

A.$ \{2\} $
B.$ \{-2\} $
C.$ \{-2,2\} $
D.$ \{-2,0\} $

答案： 1.D 函数的概念 因为集合$B=\{4\}$，所以$x^{2}=4$，解得$x=\pm2$，对比选项，可知，集合A不可能存在元素0，故选D.

2. 函数 $ y = \tan(x - \frac{\pi}{6}) $，$ x \in (0,\frac{5\pi}{12}) $ 的值域为(B)

A.$ (-\sqrt{3},1) $
B.$ (-\frac{\sqrt{3}}{3},1) $
C.$ (-\infty,-\sqrt{3}) \cup (1,+\infty) $
D.$ (\frac{\sqrt{3}}{3},1) $

答案： 2.B 函数的值域 因为$x\in(0,\frac{5\pi}{12})$，所以$x-\frac{\pi}{6}\in(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$，又因为函数$y=\tan x$在$(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$上单调递增，所以$\tan(x-\frac{\pi}{6})\in(-\frac{\sqrt{3}}{3},1)$，故选B.

3. 已知 $ a = 2^{0.3} $，$ b = \log_{0.2}0.3 $，则(A)

A.$ a ＞ 1 ＞ b $
B.$ a ＞ b ＞ 1 $
C.$ b ＞ 1 ＞ a $
D.$ b ＞ a ＞ 1 $

答案： 3.A 指对数大小比较 由题可得，$a=2^{0.3}＞2^{0}=1=\log_{0.2}0.2＞\log_{0.2}0.3=b$，故选A.

4. 已知函数 $ f(x) = x^2 - \log_2x - 6 $，则用二分法求 $ f(x) $ 的零点时，其中一个零点的初始区间可以为(B)

A.$ [1,2] $
B.$ [2,3] $
C.$ [3,4] $
D.$ [4,5] $

答案： 4.B 用二分法求函数的零点+零点存在定理 因为$f(1)=-5＜0,f(2)=-3＜0,f(3)=3-\log_{2}3＞0$(提示：判断零点存在的依据是该区间端点函数值异号，且函数图象是连续不断的)，所以由零点存在定理可知，用二分法求函数的零点时，该函数其中一个零点的初始区间可以为$[2,3]$，故选B.

5. 表盘显示的时刻为 $ 11:15 $，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）

A.$ \frac{23\pi}{36} $
B.$ \frac{2\pi}{3} $
C.$ \frac{13\pi}{24} $
D.$ \frac{5\pi}{8} $

答案： 5.D 任意角 因为表盘显示的时刻为11:15，表盘共划分12个刻度，每个刻度所对的圆心角度数是$\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$，所以此时若将时针与分针视为两条线段，则其所夹的钝角的大小为$\frac{\pi}{6}×4-\frac{\pi}{6}×\frac{1}{4}=\frac{5\pi}{8}$，故选D.

6. 已知 $ a \in \mathbf{R} $，函数 $ f(x) = ax^2 - x $，若存在 $ t \in [0,2] $，使得 $ f(t + 2) - f(t) \leq 2 $ 成立，则实数 $ a $ 的取值范围为(C)

A.$ [0,1] $
B.$ [0,\frac{1}{2}] $
C.$ (-\infty,1] $
D.$ (-\infty,\frac{1}{3}] $

答案： 6.C 不等式有解问题 因为$f(x)=ax^{2}-x$，所以$f(t + 2) - f(t)=4at + 4a - 2$，所以若存在$t\in[0,2]$，使得$f(t + 2) - f(t)\leq2$成立，即等价于存在$t\in[0,2]$，使得$a\leq\frac{1}{t+1}$(题眼)，即$a\leq(\frac{1}{t+1})_{max}$，所以$a\leq1$，故选C.

7. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} (a - 4)x + 5, & x \leq 1, \\ \frac{2a}{x}, & x ＞ 1, \end{cases} $ 若对 $ \mathbf{R} $ 上的任意实数 $ x_1,x_2(x_1 \neq x_2) $，恒有 $ (x_1 - x_2) · [f(x_1) - f(x_2)] ＜ 0 $ 成立，那么实数 $ a $ 的取值范围是(D)

A.$ (0,4) $
B.$ (0,4] $
C.$ [2,4) $
D.$ (0,1] $

答案： 7.D 函数的单调性 因为对$\mathbf{R}$上的任意实数$x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$，恒有$(x_{1}-x_{2})[f(x_{1})-f(x_{2})]＜0$，所以可知该函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减(题眼)(提示：函数单调性的定义)，所以对于函数$f(x)=\begin{cases}(a - 4)x + 5,x\leq1\frac{2a}{x},x＞1\end{cases}$有$\begin{cases}a - 4＜0\\2a＞0\\a - 4 + 5\geq2a\end{cases}$(关键：由函数的单调性得到不等式组)，解得$0＜a\leq1$，故选D.

8. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^3, & x \geq 0, \\ -x, & x ＜ 0. \end{cases} $ 若函数 $ g(x) = f(x) - |kx^2 - 2x|(k \in \mathbf{R}) $ 恰有 4 个零点，则 $ k $ 的取值范围是(A)

A.$ (-\infty,0) \cup (2\sqrt{2},+\infty) $
B.$ (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (0,2\sqrt{2}) $
C.$ (-\infty,0) \cup (0,2\sqrt{2}) $
D.$ (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (2\sqrt{2},+\infty) $

答案：
8.A 函数与方程
[思维导图]函数$g(x)$恰有4个零点$\rightarrow$方程$f(x)=|kx^{2}-2x|$有4个不同的根$\rightarrow$两函数图象有4个不同的交点$\rightarrow$按$k=0,k＜0,k＞0$三种情况结合函数的图象$\rightarrow$列不等式求解.
由题可知，函数$g(x)$恰有4个零点，即方程$f(x)=|kx^{2}-2x|$有4个不同的根，即函数$y=f(x)$的图象与$y=|kx^{2}-2x|$的图象有4个不同的交点(题眼)(方法：利用函数与方程的思想，把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题).当$k=0$时，只有2个交点，不满足条件；当$k＜0$时，在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的大致图象，如图1所示，由图象可知有4个不同的交点，所以满足条件；当$k＞0$时，在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的大致图象，如图2所示，函数$y=|kx^{2}-2x|$的图象与$x$轴的2个交点分别为$(0,0),(\frac{2}{k},0)$，当$x＞\frac{2}{k}$时，由$kx^{2}-2x=x^{2}$可得$x^{2}-kx + 2=0$，要使其有4个不同的交点，则$\Delta=k^{2}-8＞0$，解得$k＞2\sqrt{2}$.综上可知，$k＜0$或$k＞2\sqrt{2}$，故选A.

9. 已知幂函数 $ f(x) = x^a $ 过点 $ P(4,2) $，则下列关于 $ f(x) $ 性质的描述正确的是(AC)

A.$ f(x) $ 是非奇非偶函数
B.$ f(x) $ 过点 $ (8,4) $
C.$ f(x) $ 在 $ [0,+\infty) $ 上是增函数
D.$ f(x) $ 的定义域是 $ \mathbf{R} $

答案： 9.AC 幂函数的性质 因为幂函数$f(x)=x^{\alpha}$过点$P(4,2)$，所以$4^{\alpha}=2$，解得$\alpha=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$(题眼).对于A，易知函数$f(x)$是非奇非偶函数，故A正确；对于B，因为$8^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，所以函数$f(x)$过点$(8,2\sqrt{2})$，故B错误；对于C，函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上是增函数，故C正确；对于D，函数$f(x)$的定义域为$[0,+\infty)$，故D错误，故选AC.