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2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
16. (15 分)
如图，某地一天从 $ 2 \sim 18 $ h 的温度变化曲线近似满足函数 $ y = A \sin(\omega x + \varphi) + b $，其中 $ A ＞ 0 $，$ \omega ＞ 0 $，$ -\pi ＜ \varphi ＜ 0 $。
(Ⅰ) 求出这段曲线的函数解析式；
(Ⅱ) 人体感到舒适的温度通常在 $ 20^{\circ} C - 24^{\circ} C $，求这段时间内人体感到舒适的时间长度。
如图，某地一天从 $ 2 \sim 18 $ h 的温度变化曲线近似满足函数 $ y = A \sin(\omega x + \varphi) + b $，其中 $ A ＞ 0 $，$ \omega ＞ 0 $，$ -\pi ＜ \varphi ＜ 0 $。
(Ⅰ) 求出这段曲线的函数解析式；
(Ⅱ) 人体感到舒适的温度通常在 $ 20^{\circ} C - 24^{\circ} C $，求这段时间内人体感到舒适的时间长度。
答案：
16. (Ⅰ)$y = 6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17,2\leq x\leq18$. (Ⅱ)$8 h$
三角函数的实际应用
解:(Ⅰ)由题图可知,$A=\frac{23 - 11}{2}=6$(提示:振幅是极差的一半),$b=\frac{23 + 11}{2}=17$,函数的最小正周期$T = 2(14 - 2)=24$,所以$\frac{2\pi}{\omega}=24$,所以$\omega=\frac{\pi}{12}$,所以$y = 6\sin(\frac{\pi}{12}x+\varphi)+17$.又因为$6\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)+17 = 11$,则$\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)= - 1$,所以$\varphi=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$.又因为$-\pi＜\varphi＜0$,所以取$\varphi=-\frac{2\pi}{3}$.综上,这段曲线的函数解析式为$y = 6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17$,$2\leq x\leq18$. (7 分)
(Ⅱ)令$\begin{cases}6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17\leq24, & ①\\6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17\geq20 & ②\end{cases}$(题眼),①式显然成立,由②得,$2k\pi+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$,解得$24k + 10\leq x\leq24k + 18,k\in\mathbf{Z}$.又因为$2\leq x\leq18$,所以取$k = 0$,得$10\leq x\leq18$.综上,这段时间内人体感到舒适的时间长度为$8 h$. (15 分)
三角函数的实际应用
解:(Ⅰ)由题图可知,$A=\frac{23 - 11}{2}=6$(提示:振幅是极差的一半),$b=\frac{23 + 11}{2}=17$,函数的最小正周期$T = 2(14 - 2)=24$,所以$\frac{2\pi}{\omega}=24$,所以$\omega=\frac{\pi}{12}$,所以$y = 6\sin(\frac{\pi}{12}x+\varphi)+17$.又因为$6\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)+17 = 11$,则$\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)= - 1$,所以$\varphi=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$.又因为$-\pi＜\varphi＜0$,所以取$\varphi=-\frac{2\pi}{3}$.综上,这段曲线的函数解析式为$y = 6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17$,$2\leq x\leq18$. (7 分)
(Ⅱ)令$\begin{cases}6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17\leq24, & ①\\6\sin(\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3})+17\geq20 & ②\end{cases}$(题眼),①式显然成立,由②得,$2k\pi+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{12}x-\frac{2\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$,解得$24k + 10\leq x\leq24k + 18,k\in\mathbf{Z}$.又因为$2\leq x\leq18$,所以取$k = 0$,得$10\leq x\leq18$.综上,这段时间内人体感到舒适的时间长度为$8 h$. (15 分)
17. (15 分)
已知函数 $ f(x) = \ln \frac{1 - x}{1 + x} $，$ g(x) = 4^x - 2^x $。
(Ⅰ) 判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性并证明；
(Ⅱ) 若实数 $ a $，$ b $ 满足 $ f(a) + f(b) = 0 $，求 $ g(a) + g(b) $ 的取值范围。
已知函数 $ f(x) = \ln \frac{1 - x}{1 + x} $，$ g(x) = 4^x - 2^x $。
(Ⅰ) 判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性并证明；
(Ⅱ) 若实数 $ a $，$ b $ 满足 $ f(a) + f(b) = 0 $，求 $ g(a) + g(b) $ 的取值范围。
答案：
17. (Ⅰ)函数$f(x)$是奇函数,证明略 (Ⅱ)$[0,\frac{7}{4})$
函数的奇偶性+函数的值域
解:(Ⅰ)函数$f(x)$是奇函数.证明如下:因为$\frac{1 - x}{1 + x}＞0$,解得$-1＜x＜1$,所以函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$(提示:确定函数的定义域,是研究函数奇偶性的先决条件),任取$-1＜x＜1$,则$f(-x)=\ln\frac{1 + x}{1 - x}=-\ln\frac{1 - x}{1 + x}=-f(x)$,所以函数$f(x)$是奇函数. (7 分)
(Ⅱ)由题意,$\ln\frac{1 - a}{1 + a}+\ln\frac{1 - b}{1 + b}=0$,得$\frac{1 - a}{1 + a}·\frac{1 - b}{1 + b}=1$,解得$a + b = 0$,所以$g(a)+g(b)=4^{a}-2^{a}+4^{-a}-2^{-a}=(2^{a}+2^{-a})^{2}-(2^{a}+2^{-a})-2$,令$t = 2^{a}+2^{-a}$,由$a\in(-1,1)$得,$t\in[2,\frac{5}{2})$,于是,$g(a)+g(b)=t^{2}-t - 2=(t-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}\in[0,\frac{7}{4})$(题眼)(关键:换元构造函数,注意解的等价性),因此,$g(a)+g(b)=(t-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}\in[0,\frac{7}{4})$(提示:求二次函数给定区间的值域时需关注其图象的开口方向和对称轴). (15 分)
函数的奇偶性+函数的值域
解:(Ⅰ)函数$f(x)$是奇函数.证明如下:因为$\frac{1 - x}{1 + x}＞0$,解得$-1＜x＜1$,所以函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$(提示:确定函数的定义域,是研究函数奇偶性的先决条件),任取$-1＜x＜1$,则$f(-x)=\ln\frac{1 + x}{1 - x}=-\ln\frac{1 - x}{1 + x}=-f(x)$,所以函数$f(x)$是奇函数. (7 分)
(Ⅱ)由题意,$\ln\frac{1 - a}{1 + a}+\ln\frac{1 - b}{1 + b}=0$,得$\frac{1 - a}{1 + a}·\frac{1 - b}{1 + b}=1$,解得$a + b = 0$,所以$g(a)+g(b)=4^{a}-2^{a}+4^{-a}-2^{-a}=(2^{a}+2^{-a})^{2}-(2^{a}+2^{-a})-2$,令$t = 2^{a}+2^{-a}$,由$a\in(-1,1)$得,$t\in[2,\frac{5}{2})$,于是,$g(a)+g(b)=t^{2}-t - 2=(t-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}\in[0,\frac{7}{4})$(题眼)(关键:换元构造函数,注意解的等价性),因此,$g(a)+g(b)=(t-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}\in[0,\frac{7}{4})$(提示:求二次函数给定区间的值域时需关注其图象的开口方向和对称轴). (15 分)
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