《2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合 $ M = \{ - 2, - 1,0,1,2 \} $，$ N = \{ x | ( x + 1 ) ( x - 3 ) ＞ 0 \} $，则 $ M \cap N = $(B)

A.$ \{ - 2, - 1,0,1 \} $
B.$ \{ - 2 \} $
C.$ \{ - 2, - 1 \} $
D.$ \{ 0,1,2 \} $

答案： 1.B 集合的交集运算 由$(x + 1)(x - 3) ＞ 0$，解得$x ＜ -1$或$x ＞ 3$，则$N = \{x|x ＜ -1或x ＞ 3\}$，所以$M\cap N = \{-2\}$，故选B。

2. “$ x = 2 k \pi + \frac { \pi } { 6 } ( k \in \mathbf { Z } ) $”是“$ \sin x = \frac { 1 } { 2 } $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A 充分条件与必要条件的判断 由$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}(k\in Z)$可以推出$\sin x = \frac{1}{2}$，由$\sin x = \frac{1}{2}$可得$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}(k\in Z)$或$x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}(k\in Z)$，故选A。

3. 计算 $ \log _ { 5 } 4 - 2 \log _ { 5 } 10 = $(C)

A.2
B.$ - 1 $
C.$ - 2 $
D.$ - 5 $

答案： 3.C 对数运算 因为$\log_{5}4 - 2\log_{5}10 = \log_{5}4 - \log_{5}10^{2} = \log_{5}\frac{4}{100} = \log_{5}\frac{1}{25} = \log_{5}5^{-2} = -2$，故选C。

4. 已知正数 $ x $，$ y $ 满足 $ \frac { 8 } { x } + \frac { 1 } { y } = 1 $，则 $ x + 2 y $ 的最小值是（ ）

A.6
B.16
C.20
D.18

答案： 4.D 基本不等式 $x + 2y = (x + 2y)(\frac{8}{x}+\frac{1}{y})=10+\frac{16y}{x}+\frac{x}{y}\geq10 + 2\sqrt{\frac{16y}{x}·\frac{x}{y}}=18$（技巧：利用“$1$”的代换构造基本不等式），当且仅当$\frac{16y}{x}=\frac{x}{y}$，即$x = 12,y = 3$时等号成立，所以$x + 2y$的最小值是$18$，故选D。

5. 计算 $ \sin 50 ^ { \circ } \cos 10 ^ { \circ } + \sin 40 ^ { \circ } \sin 10 ^ { \circ } = $（ ）

A.$ - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $
B.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $
C.$ - \frac { 1 } { 2 } $
D.$ \frac { 1 } { 2 } $

答案： 5.B 两角和的正弦公式+两角差的余弦公式
解法一：$\sin50^{\circ}\cos10^{\circ}+\sin40^{\circ}\sin10^{\circ}=\sin50^{\circ}\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}\sin10^{\circ}=\sin(50^{\circ}+10^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选B。
解法二：$\sin50^{\circ}\cos10^{\circ}+\sin40^{\circ}\sin10^{\circ}=\cos40^{\circ}\cos10^{\circ}+\sin40^{\circ}\sin10^{\circ}=\cos(40^{\circ}-10^{\circ})=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选B。

6. 已知角 $ \theta $ 的顶点与原点重合，始边与 $ x $ 轴的正半轴重合，终边在直线 $ y = - 3 x $ 上，则 $ \tan \left( 2 \theta + \frac { \pi } { 4 } \right) = $(C)

A.$ - \frac { 1 } { 7 } $
B.$ \frac { 1 } { 7 } $
C.7
D.$ - 7 $

答案： 6.C 二倍角公式+两角和的正切公式 角$\theta$终边在直线$y = -3x$上，则$\tan\theta = -3$（题眼：直线的斜率是该直线倾斜角的正切值），所以$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}=\frac{-6}{1 - 9}=\frac{3}{4}$，从而$\tan(2\theta+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan2\theta + 1}{1 - \tan2\theta}=\frac{\frac{3}{4}+1}{1-\frac{3}{4}}=7$，故选C。

7. 将函数 $ f ( x ) = \cos \left( 2 x + \frac { \pi } { 3 } \right) $ 的图象向右平移 $ \frac { 2 \pi } { 3 } $ 个单位长度，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍(纵坐标不变)，得到函数 $ y = g ( x ) $ 的图象，则(A)

A.$ g ( x ) = - \cos x $
B.$ g ( x ) = \cos x $
C.$ g ( x ) = \cos \left( x - \frac { \pi } { 3 } \right) $
D.$ g ( x ) = \cos \left( 4 x - \frac { \pi } { 3 } \right) $

答案： 7.A 三角函数图象的变换 将函数$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度，则$y=\cos[2(x - \frac{2\pi}{3})+\frac{\pi}{3}]=\cos(2x-\pi)=-\cos2x$，再把所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），得到$g(x)=-\cos x$的图象，故选A。

8. 设函数 $ f ( x ) $ 的定义域为 $ \mathbf { R } $，$ f ( x + 1 ) $ 为奇函数，$ f ( x + 2 ) $ 为偶函数，当 $ x \in [ 0,1 ] $ 时，$ f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + b x + c $. 若 $ f ( 3 ) - f ( 2 ) = 6 $，则 $ f \left( \frac { 75 } { 2 } \right) = $(D)

A.$ \frac { 9 } { 4 } $
B.$ \frac { 3 } { 2 } $
C.$ - \frac { 7 } { 4 } $
D.$ - \frac { 5 } { 2 } $

答案： 8.D 函数的奇偶性+函数的周期性
【思维导图】由$f(x + 1)$为奇函数，$f(x + 2)$为偶函数$\to f(x)$的周期为$4\to$结合已知条件可求出$b,c\to$结合周期性得解。
因为$f(x + 1)$为奇函数，所以$f(-x + 1)+f(x + 1)=0$，则$f(x)$的图象关于点$(1,0)$中心对称，且$f(1)=0$（提示：注意隐藏条件）。因为$f(x + 2)$为偶函数，所以$f(-x + 2)=f(x + 2)$，则$f(x)$的图象关于直线$x = 2$轴对称（题眼），由$f(-x + 1)+f(x + 1)=0$可得$f(x)+f(2 - x)=0$，又$f(2 - x)=f(2 + x)$，从而$f(2 + x)=-f(x)$，所以$f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)$，即函数$f(x)$的周期为$4$，且$f(3)-f(2)=f(1)-(-f(0))=f(1)+f(0)=6$。又$f(0)=c,f(1)=2 + b + c = 0$，所以$c = 6$，所以$b = -8$，则当$x\in[0,1]$时，$f(x)=2x^{2}-8x + 6$，所以$f(\frac{75}{2})=f(\frac{75}{2}-36)=f(\frac{3}{2})=-f(\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$，故选D。
技巧点拨
(1)$f(a + x)=f(a - x)\Leftrightarrow f(x)$的图象关于直线$x = a$对称$\Leftrightarrow f(x + a)$是偶函数；
(2)$f(a + x)+f(a - x)=0\Leftrightarrow f(x)$的图象关于点$(a,0)$对称$\Leftrightarrow f(x + a)$是奇函数。

9. 已知 $ a $，$ b $ 为实数，且 $ a ＜ b $，则下列不等式恒成立的是(BC)

A.$ \sin a ＜ \sin b $
B.$ \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { a } ＞ \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { b } $
C.$ a ^ { 3 } ＜ b ^ { 3 } $
D.$ \ln ( a ^ { 2 } + 1 ) ＜ \ln ( b ^ { 2 } + 1 ) $

答案： 9.BC 利用函数的单调性比较大小 对于A，因为$y = \sin x$在$\mathbf{R}$上既有增区间又有减区间，所以$\sin a\lt\sin b$不恒成立，故A错误；对于B，函数$y = (\frac{1}{2})^{x}$是$\mathbf{R}$上的减函数，且$a\lt b$，所以$(\frac{1}{2})^{a}\gt(\frac{1}{2})^{b}$，故B正确；对于C，由于函数$f(x)=x^{3}$是$\mathbf{R}$上的增函数，且$a\lt b$，所以$a^{3}\lt b^{3}$，故C正确；对于D，由$a\lt b$无法确定$a^{2},b^{2}$的大小关系，所以$\ln(a^{2}+1)\lt\ln(b^{2}+1)$不是恒成立的，故D错误，故选BC。