《2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版》

18. （17 分）
定义在$\{x|x\neq0\}$上的函数$f(x)$，对任意$x$，$y$，都有$f(xy)=f(x)+f(y)-3$，且$f(2)=1$，当$0\lt x\lt1$时，$f(x)\gt3$。
（Ⅰ）证明：$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减；
（Ⅱ）解不等式$f(3x - 5)\gt - 3$。

答案： 18.(Ⅰ)证明略　(Ⅱ)$\{x \mid -1 ＜ x ＜ \frac{13}{3}, 且 x \neq \frac{5}{3}\}$
函数的单调性+利用函数性质解不等式
【思维导图】(Ⅰ)令$xy = x_1,x = x_2$，设$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，则$y = \frac{x_1}{x_2}$，且$0 ＜ y ＜ 1$，$f(x_1) - f(x_2) = f(\frac{x_1}{x_2}) - 3 \rightarrow$结合当$0 ＜ x ＜ 1$时，$f(x) ＞ 3 \rightarrow f(\frac{x_1}{x_2}) ＞ 3$，即$f(x_1) ＞ f(x_2) \rightarrow$证得结论.
(Ⅱ)由$f(xy) = f(x) + f(y) - 3$令$x = y = 1 \rightarrow f(1) = 3$；令$x = y = -1 \rightarrow f(-1) = 3$. 令$y = -1$，则$f(-x) = f(x) + f(-1) - 3 = f(x)$，$\therefore f(x)$为偶函数. 令$x = y = 2$，则$f(4) = -1$. 令$x = 2,y = 4$，则$f(8) = -3 \rightarrow$原不等式转化为$f(|3x - 5|) ＞ f(8)$(关键：利用函数单调性脱函数符号).
又$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，则$0 ＜ |3x - 5| ＜ 8$，即$-1 ＜ x ＜ \frac{13}{3}$，且$x \neq \frac{5}{3}$，$\therefore$不等式的解集为$\{x \mid -1 ＜ x ＜ \frac{13}{3}, 且 x \neq \frac{5}{3}\}$. (17分)

19. （17 分）
函数$f(x)=x^{2}+2|x - a|+a(a\in\mathbf{R})$，$g(x)=\dfrac{x^{2}-2ax + 1}{x^{2}}(a\in\mathbf{R})$。
（Ⅰ）若函数$f(x)$为偶函数，求实数$a$的值并指出此时函数$f(x)$的单调区间；
（Ⅱ）若$a\lt0$时，$\forall x_{1}\in[-1,-\dfrac{1}{3}]$，$\exists x_{2}\in[-2,2]$，都有$g(x_{1})=f(x_{2})$，求实数$a$的取值范围。

答案： 19.(Ⅰ)$a = 0$ 函数$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$，单调递增区间为$(0,+\infty)$
(Ⅱ)$\{a \mid -1 \leq a \leq -\frac{2}{7}\}$
函数奇偶性的应用+不等式恒成立
【思维导图】(Ⅰ)利用函数奇偶性求得参数$a = 0 \rightarrow$利用二次函数的性质即可得$f(x)$的单调区间.
(Ⅱ)将问题转化为$g(x)$的值域是$f(x)$的值域的子集$\rightarrow$解法一：分类讨论$a$的取值范围$\rightarrow$结合二次函数的性质即可得解.
解法二：结合解法一中的(Ⅰ)；结合解法一中(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ). $\because$当$a ＜ -1$时，$f(x) \in [-1 - a,8 - a]$，$\therefore$对任意$t \in [-3,-1]$，$-1 - a \leq t^2 - 2at + 1 \leq 8 - a$恒成立(关键：将问题转化为不等式恒成立问题)，则$\frac{t^2 + 2}{2t - 1} \leq a \leq \frac{t^2 - 7}{2t - 1}$恒成立，则$-1 = (\frac{t^2 + 2}{2t - 1})_{\max} \leq a \leq (\frac{t^2 - 7}{2t - 1})_{\min} = -\frac{2}{7}$，则$a \in \varnothing$. 综上，实数$a$的取值范围为$\{a \mid -1 \leq a \leq -\frac{2}{7}\}$.
方法点拨
本题的关键是将问题转化为$g(x)$的值域是$f(x)$的值域的子集，从而利用二次函数的性质与列不等式即可得解.
(解析人：韩红军)