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2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年天利38套高中名校期中期末联考测试卷高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
16. (15 分)
已知$f(x)=\log_{3}\left(\dfrac{ax + 1}{x}\right)(a\in\mathbf{R})$.
(Ⅰ)当$a = 2$时,解不等式$f(x)\geqslant0$;
(Ⅱ)若关于$x$的方程$f\left(\dfrac{1}{x}\right)-\log_{3}[x^{2}-(2a - 1)x + 3a - 1]=0$在区间$(-1,0)$内恰有一个实数解,求实数$a$的取值范围.
已知$f(x)=\log_{3}\left(\dfrac{ax + 1}{x}\right)(a\in\mathbf{R})$.
(Ⅰ)当$a = 2$时,解不等式$f(x)\geqslant0$;
(Ⅱ)若关于$x$的方程$f\left(\dfrac{1}{x}\right)-\log_{3}[x^{2}-(2a - 1)x + 3a - 1]=0$在区间$(-1,0)$内恰有一个实数解,求实数$a$的取值范围.
答案：
16.(Ⅰ)$(-\infty,-1]\cup(0,+\infty)$ (Ⅱ)$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$
对数函数的性质+方程的根与函数的零点
解：(Ⅰ)当 $a = 2$ 时，$f(x)=\log_3(\frac{2x + 1}{x})\geq0=\log_31$。
$\because y=\log_3x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，$\therefore\frac{2x + 1}{x}\geq1$，即 $\frac{x + 1}{x}\geq0$（题眼），解得 $x\in(-\infty,-1]\cup(0,+\infty)$，$\therefore$ 不等式的解集为 $(-\infty,-1]\cup(0,+\infty)$。 (6 分)
(Ⅱ)关于 $x$ 的方程 $f(\frac{1}{x})-\log_3[x^2-(2a - 1)x + 3a - 1]=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，化简方程得 $\log_3(x + a)=\log_3[x^2-(2a - 1)x + 3a - 1]$，即方程 $x + a=x^2-(2a - 1)x + 3a - 1$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，即方程 $x^2-2ax + 2a - 1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，且 $x + a＞0$（题眼），即方程 $(x - 1)[x-(2a - 1)]=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，且 $x + a＞0$，故有 $\begin{cases}-1＜2a - 1＜0 \\ 2a - 1+a＞0\end{cases}$，解得 $\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$，所以实数 $a$ 的取值范围是 $(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$。 (15 分)
对数函数的性质+方程的根与函数的零点
解：(Ⅰ)当 $a = 2$ 时，$f(x)=\log_3(\frac{2x + 1}{x})\geq0=\log_31$。
$\because y=\log_3x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，$\therefore\frac{2x + 1}{x}\geq1$，即 $\frac{x + 1}{x}\geq0$（题眼），解得 $x\in(-\infty,-1]\cup(0,+\infty)$，$\therefore$ 不等式的解集为 $(-\infty,-1]\cup(0,+\infty)$。 (6 分)
(Ⅱ)关于 $x$ 的方程 $f(\frac{1}{x})-\log_3[x^2-(2a - 1)x + 3a - 1]=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，化简方程得 $\log_3(x + a)=\log_3[x^2-(2a - 1)x + 3a - 1]$，即方程 $x + a=x^2-(2a - 1)x + 3a - 1$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，即方程 $x^2-2ax + 2a - 1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，且 $x + a＞0$（题眼），即方程 $(x - 1)[x-(2a - 1)]=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内恰有一个实数解，且 $x + a＞0$，故有 $\begin{cases}-1＜2a - 1＜0 \\ 2a - 1+a＞0\end{cases}$，解得 $\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$，所以实数 $a$ 的取值范围是 $(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$。 (15 分)
17. (15 分)
随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前 3 年平台会员的人数如下表所示(其中第 4 年为预估人数,仅供参考):
(Ⅰ)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型,估算建立平台$x(x\in\mathbf{N}^{*})$年后平台会员人数$y$(千人),并求出你选择模型的解析式;
①$y=\dfrac{t}{x}+b(t\gt0)$;
②$y = d·\log_{r}x + s(r\gt0$且$r\neq1)$;
③$y = m· a^{x}+n(a\gt0$且$a\neq1)$.
(Ⅱ)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过$k·\left(\dfrac{9}{4}\right)^{x}(k\gt0)$千人,依据(Ⅰ)中你选择的函数模型,求$k$的最小值.
随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前 3 年平台会员的人数如下表所示(其中第 4 年为预估人数,仅供参考):
(Ⅰ)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型,估算建立平台$x(x\in\mathbf{N}^{*})$年后平台会员人数$y$(千人),并求出你选择模型的解析式;
①$y=\dfrac{t}{x}+b(t\gt0)$;
②$y = d·\log_{r}x + s(r\gt0$且$r\neq1)$;
③$y = m· a^{x}+n(a\gt0$且$a\neq1)$.
(Ⅱ)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过$k·\left(\dfrac{9}{4}\right)^{x}(k\gt0)$千人,依据(Ⅰ)中你选择的函数模型,求$k$的最小值.
答案：
17.(Ⅰ)选择模型③，$y = 8·(\frac{3}{2})^x+2,x\in\mathbf{N}^*$ (Ⅱ)$\frac{56}{9}$
函数模型的实际应用
解：(Ⅰ)从题中表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是模型①，$\because$ 函数增长的速度越来越快，$\therefore$ 应选择模型③ $y = m· a^x+n(a＞0$ 且 $a\neq1)$（提示：数据的变化体现了函数变化的幅度，这是选择模型的依据之一）。
由题可知 $\begin{cases}14 = ma + n \\ 20 = ma^2 + n \\ 29 = ma^3 + n\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 8 \\ a=\frac{3}{2} \\ n = 2\end{cases}$
$\therefore y = 8·(\frac{3}{2})^x+2,x\in\mathbf{N}^*$ (6 分)
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知：$f(x)=8·(\frac{3}{2})^x+2,x\in\mathbf{N}^*$，故不等式 $8·(\frac{3}{2})^x+2\leq k·(\frac{9}{4})^x(k＞0)$ 对 $x\in[1,+\infty)$ 恒成立（题眼），$\therefore k\geq\frac{8}{(\frac{3}{2})^x}+\frac{2}{(\frac{3}{2})^{2x}}=2·(\frac{2}{3})^x+8·(\frac{2}{3})^{2x}$ 对 $x\in[1,+\infty)$ 恒成立，令 $(\frac{2}{3})^x=t$，则 $t\in(0,\frac{2}{3}]$，令 $g(t)=2t^2+8t,t\in(0,\frac{2}{3}]$，$\because g(t)$ 在 $(0,\frac{2}{3}]$ 上单调递增，则 $g(t)\leq g(\frac{2}{3})=\frac{56}{9}$，$\therefore k\geq\frac{56}{9},\therefore k_{\min}=\frac{56}{9}$ (15 分)
解后反思：根据数据选择模型要注意数据之间的变化；不等式恒成立问题可以通过参变分离，构建新函数，再利用函数的单调性考查最值，由此确定参数的取值范围。
函数模型的实际应用
解：(Ⅰ)从题中表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是模型①，$\because$ 函数增长的速度越来越快，$\therefore$ 应选择模型③ $y = m· a^x+n(a＞0$ 且 $a\neq1)$（提示：数据的变化体现了函数变化的幅度，这是选择模型的依据之一）。
由题可知 $\begin{cases}14 = ma + n \\ 20 = ma^2 + n \\ 29 = ma^3 + n\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 8 \\ a=\frac{3}{2} \\ n = 2\end{cases}$
$\therefore y = 8·(\frac{3}{2})^x+2,x\in\mathbf{N}^*$ (6 分)
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知：$f(x)=8·(\frac{3}{2})^x+2,x\in\mathbf{N}^*$，故不等式 $8·(\frac{3}{2})^x+2\leq k·(\frac{9}{4})^x(k＞0)$ 对 $x\in[1,+\infty)$ 恒成立（题眼），$\therefore k\geq\frac{8}{(\frac{3}{2})^x}+\frac{2}{(\frac{3}{2})^{2x}}=2·(\frac{2}{3})^x+8·(\frac{2}{3})^{2x}$ 对 $x\in[1,+\infty)$ 恒成立，令 $(\frac{2}{3})^x=t$，则 $t\in(0,\frac{2}{3}]$，令 $g(t)=2t^2+8t,t\in(0,\frac{2}{3}]$，$\because g(t)$ 在 $(0,\frac{2}{3}]$ 上单调递增，则 $g(t)\leq g(\frac{2}{3})=\frac{56}{9}$，$\therefore k\geq\frac{56}{9},\therefore k_{\min}=\frac{56}{9}$ (15 分)
解后反思：根据数据选择模型要注意数据之间的变化；不等式恒成立问题可以通过参变分离，构建新函数，再利用函数的单调性考查最值，由此确定参数的取值范围。
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