《2025年课课练九年级数学上册苏科版》

13. 如图,在矩形$AOBC$中,点$A$、$B的坐标分别为(0,6)$、$(12,0)$,点$E在边OB$上,$\angle AEO= 30^{\circ}$,点$P从点Q(-4,0)$出发,沿$x$轴以每秒1个单位长度的速度向右运动,运动时间为$t\ s$.
(1)求点$E$的坐标；
(2)若$\odot D与\triangle AOE$的三边相切,切点分别为$N$、$M$、$F$,求$\odot D$的半径；
(3)以点$P$为圆心,$PA为半径的\odot P随点P$的运动而变化,当$\odot P与四边形AEBC$的边(或边所在的直线)相切时,求$t$的值.

答案：


解：$( 1 )$　　
∵$A( 0，$$6 ) ，$$B( 12，$$0 ) ，$　　
∴$OA=6，$$OB=12，$　　
∵$∠AEO=30°，$　　
∴$AE=12，$　　
∴$OE=6\sqrt{3}，$　　
∴点$E$的坐标$( 6\sqrt{3}，$$0 )$　　
$(2)$如图$1，$连接$DA、$$DO、$$DB，$连接$DM、$$DN、$$DF，$　　
∵$\odot D$与三角形$AOE$的三边相切，切点分别为$N、$$M、$$F$　　
，　　
∴$DM⊥OB、$$DN⊥AB、$$DF⊥OA，$　　
则$S_{△AOE}=S_{△DAO}+S_{△DOE}+S_{△DAB}$　　
∴$\frac {1}{2}OE\cdot OA=\frac {1}{2}OA·DF+\frac {1}{2}OE·DM+\frac {1}{2}AE·DN$　　
∵$OA=6、$$OE=6\sqrt{3}、$$AE=12、$$DM=DN=DF=r，$　　
∴$\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×6=\frac {1}{2}×6×r+\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×r+\frac {1}{2}×12×r$　　
解得：$r=\frac {6\sqrt{3}×6}{6+6\sqrt{3}+12}=3\sqrt{3}-3$　　
$( 3 ) ①$如图$2，$当$\odot P$与$AE$相切时，　　
∵$PA$是$\odot P$的半径，　　
∴点$A$为切点，　　
∵$OA=6，$$∠AEO=30°，$　　
∴$∠PAO=30°，$$OP=2\sqrt{3}，$　　
∴$QP=4-2\sqrt{3}，$　　
∴$t=( 4-2\sqrt{3} ) $秒$.$　　
$②$如图$3，$当点$P$与$O$重合时，$\odot P$与$AC$相切，　　
∴$t=4$秒$.$　　

$③$如图$4，$当$PA=PB$时，$\odot P$与$BC$相切，设$OP=x，$　　
则$PB=PA=12-x，$　　
在$Rt△OAP $中，$x^2＋6^2=( 12-x ) ^2，$解得：$x=\frac {9}{2}，$　　
∴$t=4+\frac {9}{2}=\frac {17}{2}($秒$)，$　　
∴$t=4-2\sqrt{3}$或$4$或$\frac {17}{2}$秒$.$