《2025年课课练九年级数学上册苏科版》

8. 已知关于x的方程$kx^{2}+(k+2)x+\frac{k}{4}= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求k的值；若不存在,说明理由.

答案： 解：$\left( 1 \right) $由题意得，
解得，$k\gt -1$且k≠0.
k的取值范围为$k\gt -1$且k≠0.
解：$\left( 2 \right) $不存在，理由如下$\text{：}$
设方程的两个实数根为$x_1$和$x_2\text{，}$
由根与系数的关系，
得$x_1+x_2=-\frac{k+2}{k}\text{，}x_1x_2=\frac{\frac{k}{4}}{k}=\frac{1}{4}$
由题意得，
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
$=\frac{-\frac{k+2}{k}}{\frac{1}{4}}$
=0
解得，k=-2.
∵$k\gt －1$且k≠0.
∴k=-2不合题意，舍去.
∴不存在实数，使方程的两个实数根
的倒数和等于0.

9. 某家禽养殖场用总长108 m的围栏靠墙角围成如图所示的三块矩形区域,矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的$\frac{1}{3}$,边BC所在的墙长25 m.设AD的长为x m,求当x为何值时,矩形区域ABCD的面积是$720m^{2}$.

答案： 解：　　
∵$S_{矩形AEHG}∶S_{矩形CDEF}∶S_{矩形BFHG}=1∶1∶3$　　
∴$S_{矩形AEFB}∶S_{矩形CDEF}=4∶1.$　　
∴$AE=4DE$　　
∵$AD=x\ \mathrm {m}$　　
∴$AE=GH=\frac {4}{5}x\ \mathrm {m}，$$DE=\frac {1}{5}x\ \mathrm {m}$　　
∵围栏总长为$108\ \mathrm {m}$　　
∴$CD=\frac {108-\frac {9}{5}x}{2}\ \mathrm {m}，$即$x\cdot \frac {108-\frac {9}{5}x}{2}=720$　　
$ $解得，$x_1=20，$$x_2=40$　　
∵边$BC$所在的墙长$25\ \mathrm {m}$　　
∴$x\lt 25.$　　
∴$x=20$　　
$ $答：当$x=20$时，矩形区域$ABCD$的面积是$720\ \mathrm {m^2}.$