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20. (6分)先化简,再求值:$3x^{2}y^{2} - [5xy^{2} - (4xy^{2} - 3) + 2x^{2}y^{2}]$,其中$x = -3,y = 2$.
答案：
解: 原式 $=3x^{2}y^{2} - 5xy^{2} + 4xy^{2} - 3 - 2x^{2}y^{2} = x^{2}y^{2} - xy^{2} - 3$. 当 $x = -3$, $y = 2$ 时, 原式 $=(-3)^{2} × 2^{2} - (-3) × 2^{2} - 3 = 36 + 12 - 3 = 45$.
21. (8分)小刚做了一道数学题:两个多项式$A,B$,其中$B为4x^{2} - 5x - 6$,试求$A + B$.他误将“$A + B$”看作“$A - B$”,结果求得的答案是$-7x^{2} + 10x + 12$,请你求出$A + B$的正确答案.
答案：
解: 因为 $A - B = -7x^{2} + 10x + 12$, $B = 4x^{2} - 5x - 6$, 所以 $A = B + (A - B) = 4x^{2} - 5x - 6 - 7x^{2} + 10x + 12 = -3x^{2} + 5x + 6$, 所以 $A + B = -3x^{2} + 5x + 6 + 4x^{2} - 5x - 6 = x^{2}$.
22. (8分)“归纳”是指从几种特殊情形出发,进而找到一般规律的过程.归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略,请用归纳策略解答问题:
如图,将一根绳子折成4段,然后按图中所示方式剪开.剪1刀,绳子变为5段;剪2刀,绳子变为9段;……
(1)归纳:完成以下表格:
| 剪开次数/刀 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | $n$ |
| 绳子数量/段 | 5 | 9 |
(2)问题解决:
①剪10刀时,绳子变为多少段?
②有可能刚好剪得100段吗? 请说明理由.
如图,将一根绳子折成4段,然后按图中所示方式剪开.剪1刀,绳子变为5段;剪2刀,绳子变为9段;……
(1)归纳:完成以下表格:
| 剪开次数/刀 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | $n$ |
| 绳子数量/段 | 5 | 9 |
13
| 17
| … | $4n + 1$
|(2)问题解决:
①剪10刀时,绳子变为多少段?
②有可能刚好剪得100段吗? 请说明理由.
(2) 解: ① 由 (1) 可知剪次数 (刀) 为 $n$, 则绳子数量 (段) 为 $4n + 1$, 当 $n = 10$ 时, $4n + 1 = 4 × 10 + 1 = 41$, 所以剪 10 刀时, 绳子变为 41 段. ② 不可能. 理由: 由 (1) 可知剪次数 (刀) 为 $n$, 则绳子数量 (段) 为 $4n + 1$. 当 $4n + 1 = 100$ 时, $n = \frac{99}{4}$, 不是正整数, 所以不可能刚好剪得 100 段.
答案：
(1) 13 17 $4n + 1$
(2) 解: ① 由
(1) 可知剪次数 (刀) 为 $n$, 则绳子数量 (段) 为 $4n + 1$, 当 $n = 10$ 时, $4n + 1 = 4 × 10 + 1 = 41$, 所以剪 10 刀时, 绳子变为 41 段. ② 不可能. 理由: 由
(1) 可知剪次数 (刀) 为 $n$, 则绳子数量 (段) 为 $4n + 1$. 当 $4n + 1 = 100$ 时, $n = \frac{99}{4}$, 不是正整数, 所以不可能刚好剪得 100 段.
(1) 13 17 $4n + 1$
(2) 解: ① 由
(1) 可知剪次数 (刀) 为 $n$, 则绳子数量 (段) 为 $4n + 1$, 当 $n = 10$ 时, $4n + 1 = 4 × 10 + 1 = 41$, 所以剪 10 刀时, 绳子变为 41 段. ② 不可能. 理由: 由
(1) 可知剪次数 (刀) 为 $n$, 则绳子数量 (段) 为 $4n + 1$. 当 $4n + 1 = 100$ 时, $n = \frac{99}{4}$, 不是正整数, 所以不可能刚好剪得 100 段.
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