《2025年暑假大串联八年级数学人教版》

1. 分式
一般地，如果 $ A $，$ B $ 表示两个整式，并且 $ B $ 中含有字母，那么式子 $ \frac{A}{B} $ 叫做分式。

答案： 字母

2. 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

答案： 同一个不等于0的

3. 分式的运算
(1)乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
(2)除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(3)乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
(4)加减法：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

答案：
(3)乘方
(4)①不变 相加减 ②同分母的分式加减

4. 整数指数幂
$ a ^ { m } \cdot a ^ { n } = $$ a^{m+n} $，$ ( a ^ { m } ) ^ { n } = $$ a^{mn} $
$ ( a b ) ^ { n } = $$ a^{n}b^{n} $，$ a ^ { m } ÷ a ^ { n } = $$ a^{m-n} $($ a \neq 0 $)
$ a ^ { 0 } = $$ 1 $($ a \neq 0 $)，$ a ^ { - n } = $$ \frac{1}{a^{n}} $($ a \neq 0 $，$ n $ 为正整数)

答案： $ a^{m+n} $ $ a^{mn} $ $ a^{n}b^{n} $ $ a^{m-n} $ $ 1 $ $ \frac{1}{a^{n}} $

5. 分式方程
(1)定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
(2)解分式方程的步骤：①方程两边同乘各分母的最简公分母，把分式方程化为整式方程；②解这个整式方程，求出未知数的值；③验根，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 $ 0 $，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
(3)应用：按列方程解应用题的一般思路求解即可，只是要注意检验时，既要检验结果使实际问题有意义，又要验证是否为原方程的根。

答案：
(1)未知数
(2)①各分母的最简公分母 整式方程 ③最简公分母

例 1 若分式 $ \frac { 2 x - 4 } { x + 1 } $ 的值为 $ 0 $，则 $ x $ 的值为2。

答案： 【解析】：根据分式的值等于 0 的条件是分式的分子为零而分母不为零，对于分式$\frac{2x - 4}{x + 1}$，令分子$2x - 4 = 0$，解得$x = 2$，同时分母$x + 1\neq0$，即$x\neq - 1$，所以$x = 2$满足条件。
【答案】：$2$

例 2 下列各式从左到右的变形正确的是（A）
A. $ \frac { x - \frac { 1 } { 2 } y } { \frac { 1 } { 2 } x + y } = \frac { 2 x - y } { x + 2 y } $
B. $ \frac { 0.2 a + b } { a + 0.2 b } = \frac { 2 a + b } { a + 2 b } $
C. $ - \frac { x + 1 } { x - y } = \frac { x - 1 } { x - y } $
D. $ \frac { a + b } { a - b } = \frac { a - b } { a + b } $

答案： A

例 3 计算 $ \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } \div \frac { x ^ { 2 } + x } { x ^ { 2 } } + 1 $。

答案： 【解析】：由分式的运算法则可知，本题按照“先乘除后加减”的运算顺序解答，先将除法转化为乘法，再对分子分母进行因式分解，然后约分，最后进行加减运算。
【答案】：$\frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } \div \frac { x ^ { 2 } + x } { x ^ { 2 } } + 1 = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } \cdot \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x } + 1=\frac { ( x - 1 ) ( x + 1 ) } { x } \cdot \frac { x ^ { 2 } } { x ( x + 1 ) } + 1=x - 1 + 1 = x$