《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

20. (8分)如图,在等边三角形ABC中,$ E F \perp A B $,点E为垂足,交BC于点D,交AC的延长线于点F,判断 $ \triangle C D F $ 的形状,并证明.

答案： $\triangle CDF$ 为等腰三角形. 证明如下：$\because \triangle ABC$ 为等边三角形，$\therefore \angle B = \angle ACB = \angle A = 60^\circ$. $\because EF \perp AB$，$\therefore \angle BED = \angle AEF = 90^\circ$，$\therefore \angle EDB = 30^\circ$，$\angle F = 30^\circ$. $\because \angle EDB = \angle CDF$，$\therefore \angle CDF = \angle F$，$\therefore CD = CF$，即 $\triangle CDF$ 是等腰三角形.

21. (8分)如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle A B C $ 的三个顶点坐标分别为 $ A ( 1,1 ) $,$ B ( 3,2 ) $,$ C ( 1,4 ) $.
(1) 将 $ \triangle A B C $ 先向下平移4个单位,再向右平移1个单位,画出第二次平移后的 $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $. 若 $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 看成是 $ \triangle A B C $ 经过一次平移得到的,则平移距离是______.
(2) 以原点为对称中心,画出与 $ \triangle A B C $ 成中心对称的 $ \triangle A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } $.

答案：
(1) 画图略. $\sqrt{17}$
(2) 图略.

22. (10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在① $ A B // C D $；② $ A O = C O $；③ $ A D = B C $ 中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题.
(1) 以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是,请证明；若不是,请举出反例.
(2) 写出按题意构成的所有命题中的假命题,并选择其中一种举出反例加以说明(命题请写成“如果……,那么……”的形式).

答案：

(1) 以①②作为条件构成的命题是真命题. 证明：$\because AB // CD$，$\therefore \angle BAC = \angle DCA$，$\angle ABD = \angle CDB$. $\because AO = CO$，$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD$（AAS）. $\therefore OB = OD$. 又 $\because OA = OC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2) 以①③作为条件构成的命题是假命题，该命题是如果有一组对边平行，而另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形. 反例：等腰梯形符合上述条件，但不是平行四边形. 以②③作为条件构成的命题是假命题，该命题是如果一个四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$，且 $OA = OC$，$AD = BC$，那么这个四边形是平行四边形. 反例：如图，四边形 $ABCD$ 满足上述条件，但不是平行四边形.（写出其中一种命题的反例即可）