《2025年通城学典课时作业本九年级数学上册苏科版江苏专版》

8. 如图,AB是$\odot O$的直径,C为$\overset{\frown }{BD}$的中点,CF为$\odot O$的弦,且$CF⊥AB$,垂足为E,连接BD,交CF于点G,连接CD、AD、BF.
(1) 求证:$\triangle BFG\cong \triangle CDG$;
(2) 若$AD=BE=2$,求BF的长.

答案： 8.
(1)
∵C是BD的中点，
∴CD=BC.
∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB,
∴BC=BF,
∴CD=BF.
∵BC=BC，
∴∠F=∠CDG.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC，∠F=∠CDG，
∴△BFG≌△CDG
(2)连接OF,设⊙O的半径为r.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ADB中,BD²=AB²−AD²,即BD²=(2r)²−2².
∵CF⊥AB,
∴CF=2EF.在Rt△OEF中,OF²=OE²+EF²,即EF²=r²−(r−2)².
∵CD=BC=BF,
∴BD=CF,
∴BD²=CF²=(2EF)²=4EF²,即(2r)²−2²=4[r²−(r−2)²],解得r₁=1(不合题意，舍去),r₂=3.
∴在Rt△EFB中,BF²=EF²+BE²=3²−(3−2)²+2²=12,
∴BF=2$\sqrt{3}$

9. (2023·重庆B卷)如图,AB为$\odot O$的直径,直线CD与$\odot O$相切于点C,连接AC.若$∠ACD=50^{\circ }$,则$∠BAC$的度数为(B)

A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： 9.B

10. 如图,在矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的$\odot O$与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法:①AC与BD的交点是$\odot O$的圆心;②AF与DE的交点是$\odot O$的圆心;③BC与$\odot O$相切.其中,正确的个数是(C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 10.C

11. 如图,在扇形ABC中,$CD⊥AB$,垂足为D,$\odot E$是$\triangle ACD$的内切圆,连接AE、BE,则$∠AEB$的度数为135°.

答案： 11.135° 解析:连接EC.由点E是△ACD的内心，可得∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC=135°.证△EAB≌△EAC,得∠AEB=∠AEC=135°.

12. (2024·济宁)如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,D是BC上一点,$AD=AC$.E是$\odot O$外一点,$∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB$,连接BE.
(1) 若$AB=8$,求AE的长;
(2) 求证:EB是$\odot O$的切线.

答案：
12.
(1)
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠BAC.又
∵∠ADE=∠ACB,AD=AC,
∴△ADE≌△ACB,
∴AE=AB.
∵AB=8,
∴AE=8
(2)如图，连接BO并延长交⊙O于点F，连接AF.
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°,
∴在Rt△BAF中,∠AFB+∠ABF=90°.
∵AB=AB,
∴∠AFB=∠ACB,
∴∠ACB+∠ABF=90°.
∵AD=AC,
∴∠ACB=∠ADC,
∴在△ADC中,2∠ACB+∠CAD=180°.由
(1)知,AE=AB,
∴∠AEB=∠ABE,
∴在△ABE中,2∠ABE+∠BAE=180°.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠ACB=∠ABE,
∴∠ABE+∠ABF=90°,即∠OBE=90°,
∴OB为⊙O的半径，
∴EB是⊙O的切线