《2025年通城学典课时作业本九年级数学上册苏科版江苏专版》

8. (2023·自贡)如图，小珍同学用半径为 $ 8 \mathrm { cm } $、圆心角为 $ 100 ^ { \circ } $ 的扇形纸片，制作一个底面圆的半径为 $ 2 \mathrm { cm } $ 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是$\frac{16\pi}{9}$ $ \mathrm { cm } ^ { 2 } $。

答案： 8. $\frac{16\pi}{9}$

9. 如图，$ \odot O $ 的半径 $ O A = 3 $，$ O A $ 的垂直平分线交 $ \odot O $ 于 $ B $、$ C $ 两点，连接 $ O B $、$ O C $。若用扇形 $ O B C $ 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为$2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$。

答案： 9. $2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$ 解析：连接 $AB$。
∵ $BC$ 垂直平分 $OA$，
∴ $OB = AB$。
∵ $OB = OA$，
∴ $OB = AB = OA$，
∴ $\triangle OBA$ 是等边三角形，
∴ $\angle BOA = 60^{\circ}$。同理，可得 $\angle AOC = 60^{\circ}$，
∴ $\angle BOC = 120^{\circ}$，$360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ}$。设圆锥底面圆的半径为 $r$，则 $2\pi r = \frac{120\pi× 3}{180}$ 或 $2\pi r = \frac{240\pi× 3}{180}$，解得 $r = 1$ 或 2，
∴ 围成的圆锥的底面圆的半径为 1 或 2，
∴ 这个圆锥的高为 $\sqrt{3^{2} - 1^{2}} = 2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$。

10. （新考法·综合与实践）如图①，某种食品的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 $ E D $ 与母线 $ A D $ 长之比为 $ 1 : 2 $。制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料，其中 $ A B = A C $，$ A D \perp B C $。将扇形 $ A E F $ 围成圆锥的侧面时，$ A E $、$ A F $ 恰好重合。
（1）求这种加工材料的顶角 $ \angle B A C $ 的度数；
（2）若圆锥底面圆的直径 $ E D $ 为 $ 5 \mathrm { cm } $，求加工材料剩余部分（图②中涂色部分）的面积（结果保留 $ \pi $）。

答案： 10.
(1) 设 $\angle BAC = \alpha$。根据题意，得 $\overset{\frown}{EF}$ 的长就是圆锥底面圆的周长，
∴ $\frac{\alpha}{180^{\circ}} × \pi× AD = ED× \pi$。又
∵ $AD = 2ED$，
∴ $\alpha = 90^{\circ}$，即 $\angle BAC = 90^{\circ}$
(2)
∵ 圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm，
∴ $AD = 2ED = 10 \mathrm{cm}$。
∵ $\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形。
∵ $AD \perp BC$，
∴ 易得 $BC = 2AD = 20 \mathrm{cm}$，
∴ $S_{ 涂色} = S_{\triangle ABC} - S_{ 扇形AEF} = \frac{1}{2}BC· AD - \frac{90\pi× AD^{2}}{360} = \frac{1}{2} × 20 × 10 - \frac{90\pi× 10^{2}}{360} = (100 - 25\pi) \mathrm{cm}^{2}$

11. （新情境·游戏活动）如图，有一圆锥形粮堆，其经过轴的截面是边长为 6 的正三角形 $ A B C $，粮堆母线 $ A C $ 的中点 $ P $ 处有一老鼠正在偷吃粮食。此时小猫正在点 $ B $ 处，它要沿圆锥侧面到达点 $ P $ 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？

答案：
11. 设圆锥底面圆的半径为 $r$，母线长为 $l$，展开后圆心角的度数为 $n^{\circ}$，则底面圆的周长为 $2\pi r$，侧面展开图的弧长为 $\frac{n\pi l}{180}$。
∴ $2\pi r = \frac{n\pi l}{180}$。如图 ①，
∵ 轴截面 $\triangle ABC$ 为等边三角形，
∴ $AB = BC$，即 $l = 2r = 6$，
∴ $r = 3$，
∴ $2\pi× 3 = \frac{n\pi× 6}{180}$，
∴ $n = 180$，其侧面展开图如图 ② 所示，则 $\triangle ABP$ 为直角三角形，$BP$ 为最短路线，$AP = 3$。在 $\mathrm{Rt}\triangle ABP$ 中，$BP = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{5}$。
∴ 小猫所经过的最短路程是 $3\sqrt{5}$