《2025年课时训练八年级数学下册人教版江苏人民出版社》

13. 某个一次函数的图象与直线$y=\frac{1}{2}x + 6$平行，并且经过点（-2，-4），则这个一次函数的解析式为（ ）.
A. $y = -\frac{1}{2}x - 5$
B. $y = \frac{1}{2}x + 3$
C. $y = \frac{1}{2}x - 3$
D. $y = -2x - 8$

答案： C

14.（2023·苏州中考）已知一次函数$y = kx + b$的图象经过点(1，3)和(-1，2)，则$k^{2}-b^{2}=$_______.

答案： -6

15.（2023·南充中考）如图，直线$y = kx - 2k + 3(k$为常数，$k＜0)$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，则$\frac{2}{OA}+\frac{3}{OB}$的值是_______.

答案： 1

16.（2023·温州中考）如图，在直角坐标系中，点$A(2,m)$在直线$y = 2x-\frac{5}{2}$上，过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0,3)$.
（1）求$m$的值和直线$AB$的函数表达式；
（2）若点$P(t,y_{1})$在线段$AB$上，点$Q(t - 1,y_{2})$在直线$y = 2x-\frac{5}{2}$上，求$y_{1}-y_{2}$的最大值.

答案：
(1)把点$A(2,m)$代入$y = 2x - \frac{5}{2}$中，得$m = \frac{3}{2}$。 设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$， 把$A(2,\frac{3}{2})$，$B(0,3)$代入，得 $\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4}\\b = 3\end{cases}$， $\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。
(2)$\because$点$P(t,y_1)$在线段$AB$上， $\therefore y_1 = -\frac{3}{4}t + 3(0\leq t\leq2)$。 $\because$点$Q(t - 1,y_2)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上， $\therefore y_2 = 2(t - 1)-\frac{5}{2}=2t - \frac{9}{2}$， $\therefore y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3-(2t - \frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$。 $\because -\frac{11}{4}＜0$，$\therefore y_1 - y_2$随$t$的增大而减小， $\therefore$当$t = 0$，$y_1 - y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$。

17. 如图，直线$y = kx + b$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，点$B$，点$A$的坐标为(-2，0)，点$B$的坐标为(0，4).
（1）求直线$AB$的解析式；
（2）如图，将$\triangle AOB$向右平移 6 个单位长度，得到$\triangle A_{1}O_{1}B_{1}$，求线段$OB_{1}$的长；
（3）求（2）中$\triangle AOB$扫过的面积.

答案：
(1)$y = 2x + 4$。
(2)$\because\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle A_1O_1B_1 = 90^{\circ}$。 由平移，得$OO_1 = 6$，$O_1B_1 = OB = 4$， 由勾股定理，得$OB_1 = \sqrt{6^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{13}$， 即线段$OB_1$的长是$2\sqrt{13}$。
(3)$\triangle AOB$扫过的面积为$\frac{1}{2}\times2\times4 + 4\times6 = 28$。

18. 如图，$k\neq0$，$b\neq0$，直线$l_{1}:y = kx + b$与$x$轴交于点$A$，直线$l_{2}:y = -\frac{1}{k}x + b$与$x$轴交于点$B$，且直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点$C$.
（1）点$A$的坐标为_______，点$B$的坐标为_______，点$C$的坐标为_______；
（2）求证：$l_{1}\perp l_{2}$.

答案：
(1)$(-\frac{b}{k},0)$ $(kb,0)$ $(0,b)$
(2)$\because OC\perp AB$，$\therefore$由勾股定理，得$AC^{2}+BC^{2}=(-\frac{b}{k})^{2}+b^{2}+(kb)^{2}+b^{2}=k^{2}b^{2}+\frac{b^{2}}{k^{2}}+2b^{2}$。 又$AB^{2}=(kb+\frac{b}{k})^{2}=k^{2}b^{2}+\frac{b^{2}}{k^{2}}+2b^{2}$， $\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$， $\therefore\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore l_1\perp l_2$。