《2025年课时训练八年级数学下册人教版江苏人民出版社》

20 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，若∠A = 30°，BD = 1，CE = 2√3，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长为________.

（第20题）

答案： √19/2［解析］取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于点H，因为M是DE的中点，G是BE的中点，所以MG是△EDB的中位线，MG = 1/2BD = 1/2，MG//BD，所以∠ABE = ∠MGE。同理，得GN是△BEC的中位线，GN = 1/2CE = √3，GN//CE，所以∠EGN = ∠AEB。因为∠A = 30°，所以∠AEB + ∠ABE = 150°，所以∠EGN + ∠EGM = 150°，∠MGH = 30°，MH = 1/2MG = 1/4，GH = √3/4，HN = √3/4 + √3 = 5√3/4。在Rt△MNH中，由勾股定理，得MN = √(NH² + MH²) = √((5√3/4)² + (1/4)²) = √19/2。

21（2022·广东广州越秀区期中）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA + DF = BE；④S△ACD∶S四边形BCDE = 1∶7，其中正确的是________.

（第21题）

答案： ①②④［解析］因为∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，所以∠BAC = 60°，AC = 1/2AB。因为△ACD是等边三角形，所以∠ACD = 60°，AC = CD，所以∠ACD = ∠BAC，CD//AB。因为F为AB的中点，所以BF = 1/2AB，所以BF//CD，CD = BF，所以四边形BCDF为平行四边形，故②正确。因为四边形BCDF为平行四边形，所以DF//BC，又因为∠ACB = 90°，所以AC⊥DF，故①正确。因为DA = CA，DF = BC，AB = BE，BC + AC＞AB，所以DA + DF＞BE，故③错误。设AC = x，则CD = AC = x，AB = 2x，如图，过点A作AG⊥CD于点G，则CG = DG = 1/2CD = 1/2x，AG = √(AC² - CG²) = √(x² - (1/2x)²) = √3/2x，S△ACD = 1/2CD·AG = 1/2x·√3/2x = √3/4x²，同理S△ABE = √3x²，BC = √(AB² - AC²) = √((2x)² - x²) = √3x，S△ACB = 1/2AC·BC = 1/2x·√3x = √3/2x²，所以S△ACD/S四边形BCDE = (√3/4x²)/(√3/4x² + √3/2x² + √3x²) = 1/7，故④正确。

22 [情境创新类问题]（2023·江苏盐城大丰区期中）菱形，矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形，矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”.

（第22题）
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m - n|，于是|m - n|越小，菱形就越接近正方形.
①当菱形的一个内角为75°时，“接近度” = ________；
②当菱形的“接近度” = ________时，菱形就是正方形.
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为$\frac{m}{n}(m\leq n)$，则：
①当菱形的一个内角为45°时，“接近度” = ________；
②当菱形的“接近度” = ________时，菱形就是正方形.
（3）小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”的定义：
设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b)，将矩形的“接近度”定义为$\frac{a}{b}$，于是$\frac{a}{b}$越小，矩形越接近于正方形.
你认为他的定义________(填“合理”或“不合理”).

答案： （1）①30［解析］因为内角为75°，所以与它相邻内角的度数为105°，菱形的“接近度”=|m - n| = |105 - 75| = 30。②0 （2）①1/3 ②1 （3）不合理［解析］因为a/b越接近1，矩形越接近于正方形，所以当a/b = 1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的a/b越接近1，矩形才越接近正方形。