《2025年课时训练八年级数学下册人教版江苏人民出版社》

11 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 5，点P
在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接
CP，QD，则PC + QD的最小值为( )．


A. 11
B. 12
C. 13
D. 14

答案：
C [解析]如图，连接BP。 在矩形ABCD中，$AD// BC$，$AD = BC$， 因为$AP = CQ$，所以$AD - AP = BC - CQ$。 所以$DP = QB$，$DP// BQ$。 所以四边形DPBQ是平行四边形。 所以$PB// DQ$，$PB = DQ$。 则$PC + QD = PC + PB$，则$PC + QD$的最小值转化为$PC + PB$的最小值。 如图，在BA的延长线上截取$AE = AB = 6$，连接PE。 因为$PA\perp BE$，所以PA是BE的垂直平分线。 所以$PB = PE$，所以$PC + PB = PC + PE$。 连接CE，则$PC + QD = PC + PB = PC + PE\geqslant CE$。 因为$BE = 2AB = 12$，$BC = AD = 5$， 所以$CE=\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$。 所以$PC + QD$的最小值为13。故选C。

12（2023·陕西中考）如图，在矩形
ABCD中，AB = 3，BC = 4.
点E在边AD上，且ED =
3，M，N分别是边AB，BC
上的动点，且BM = BN，P是
线段CE上的动点，连接PM，PN. 若PM +
PN = 4. 则线段PC的长为________.

答案：
$2\sqrt{2}$ [解析]因为$DE = AB = CD = 3$，所以$\triangle CDE$是等腰直角三角形。 如图，作点N关于EC的对称点$N'$，则$N'$在直线CD上，连接$PN'$。 因为$PM + PN = 4$，所以$PM + PN' = 4 = BC$，即$MN' = 4$， 此时M，P，$N'$三点共线且$MN'// AD$，点P在$MN'$的中点处，所以$PM = PN' = 2$。 所以$PC=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$。

13 如图，在△ABC中，AB = AC，AD，CE是高，
连接DE.
(1)求证：BC = 2DE；
(2)若∠BAC = 50°，求
∠ADE的度数.

答案：
(1)因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，所以$BD = CD$。 因为$CE\perp AB$，所以$\angle BEC = 90^{\circ}$。 所以$DE=\frac{1}{2}BC$，即$BC = 2DE$。
(2)因为$AB = AC$，$BD = CD$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。 因为$\angle BAC = 50^{\circ}$，所以$\angle BAD = 25^{\circ}$。 因为$AD\perp BC$，$CE\perp AB$，所以$\angle ADB=\angle CEB = 90^{\circ}$。 所以$\angle BCE=\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B = 25^{\circ}$。 因为$DE = CD$，所以$\angle DEC=\angle DCE = 25^{\circ}$。 所以$\angle BDE = 50^{\circ}$，所以$\angle ADE = 90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。

14 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，延长CD到E，使DE = CD，连接AE，OE.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)若AD = DE = 4，求OE的长.

答案：
(1)因为四边形ABCD是矩形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。 因为$DE = CD$，所以$DE = AB$。 所以四边形ABDE是平行四边形。
(2)因为$AD = DE = 4$，$\angle ADE = 90^{\circ}$， 所以$AE=\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，$\angle DAE = 45^{\circ}$。 所以$BD = AE = 4\sqrt{2}$。 在$Rt\triangle BAD$中，O为BD中点， 所以$AO=\frac{1}{2}BD = 2\sqrt{2}$。 因为$AD = DE$，$DE = CD$，所以$AD = CD$。 因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle OAD = 45^{\circ}$。 所以$\angle EAO=\angle OAD+\angle DAE = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$。 所以$OE = 2\sqrt{10}$。

15（2023·哈尔滨南岗区四模）如图，在矩形ABCD中，
点E在BC上，连接AE，过点D作DF⊥AE
于点F，AF = BE.
(1)如图(1)，求证：DF = DC；
(2)如图(2)，延长DF交AB于点G，连接
CF，若AB = CF，请直接写出图中等于线段
FG长的3倍的所有线段.

答案：
(1)因为四边形ABCD是矩形，所以$AB = DC$，$\angle BAD=\angle B = 90^{\circ}$。 因为$DF\perp AE$，所以$\angle AFD = 90^{\circ}$。 所以$\angle AFD=\angle B$，$\angle ADF=\angle EAB = 90^{\circ}-\angle DAE$。 在$\triangle ADF$和$\triangle EAB$中， $\begin{cases}\angle AFD=\angle B\\\angle ADF=\angle EAB\\AF = EB\end{cases}$ 所以$\triangle ADF\cong\triangle EAB(AAS)$，所以$DF = AB$。 所以$DF = DC$。
(2)由
(1)得$DF = AB = DC$， 因为$AB = CF$，所以$DF = CF = DC$。 所以$\triangle CDF$是等边三角形。 所以$\angle DFC = 60^{\circ}$。 因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle ADG = 30^{\circ}$。 所以$\angle GAF = 90^{\circ}-\angle DAF=\angle ADG = 30^{\circ}$。 所以$AG = 2FG$，$DG = 2AG$。 所以$DG = 2\times2FG = 4FG$， 所以$DF = 4FG - FG = 3FG$。 所以$AB = DC = DF = CF = 3FG$。 所以等于线段FG长的3倍的线段有线段AB，DF，DC，CF。

16 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F.
(1)若AB = 2，AD = 3，求EF的长；
(2)在(1)的条件下，若G是EF的中点，连接
BG和DG，求证：BG = DG.

答案：
(1)因为四边形ABCD是矩形，所以$AD// BC$，$\angle DAB=\angle ABC=\angle BCD = 90^{\circ}$，$BC = AD = 3$。 所以$\angle DAE=\angle BEA$。 因为AE平分$\angle BAD$，所以$\angle DAE=\angle BAE = 45^{\circ}$。 所以$\angle BEA=\angle BAE = 45^{\circ}$，所以$BE = AB = 2$。 所以$CE = BC - BE = 1$。 因为$\angle CEF=\angle AEB = 45^{\circ}$，$\angle ECF = 90^{\circ}$， 所以$\angle F=\angle CEF = 45^{\circ}$，所以$CE = CF = 1$。 在$Rt\triangle CEF$中，由勾股定理，得$EF=\sqrt{EC^{2}+FC^{2}}=\sqrt{2}$。
(2)连接CG。 因为$\triangle CEF$是等腰直角三角形，G为EF的中点， 所以$CG = FG$，$\angle ECG = 45^{\circ}$，所以$\angle BCG=\angle DFG = 45^{\circ}$。 又$DF = DC + CF = 2 + 1 = 3 = BC$， 所以$\triangle BCG\cong\triangle DFG(SAS)$，所以$BG = DG$。