答案：1. （1）
对于集合①$\{x|y = x^{2}+1\}$：
解：因为$y=x^{2}+1$中$x$可以取任意实数，根据集合$\{x|p(x)\}$（$p(x)$是关于$x$的条件）的定义，这里$x$的取值范围是全体实数，所以$\{x|y = x^{2}+1\}=R$。
对于集合②$\{y|y = x^{2}+1\}$：
解：由于$x^{2}\geqslant0$，那么$y=x^{2}+1\geqslant1$，根据集合$\{y|q(y)\}$（$q(y)$是关于$y$的条件）的定义，$\{y|y = x^{2}+1\}=\{y|y\geqslant1\}$。
对于集合③$\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$：
解：集合$\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$表示的是抛物线$y = x^{2}+1$上的所有点构成的集合，是点集。
所以三个集合不是相同集合。
2. （2）
集合①$\{x|y = x^{2}+1\}$：
解：$x$的取值范围是函数$y = x^{2}+1$的定义域，$x\in R$，其含义是使函数$y = x^{2}+1$有意义的$x$的取值集合。
集合②$\{y|y = x^{2}+1\}$：
解：$y$的取值范围是函数$y = x^{2}+1$的值域，$y\geqslant1$，其含义是函数$y = x^{2}+1$的函数值$y$的取值集合。
集合③$\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$：
解：其含义是抛物线$y = x^{2}+1$上的所有点构成的集合。
