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    高考调研衡水重点中学新教材同步学案高中数学人教版新高考

    高考调研衡水重点中学新教材同步学案高中数学人教版新高考

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    例2 (1)设集合$U=\{1,2,3,4,5\}$，集合$A=\{1,2,3\}$，集合$B=\{3,4,5\}$，则$A\cup(\complement_U B)=$
    $\{1,2,3\}$
    .
    答案：$\{1,2,3\}$
    解析：$\complement_U B=\{1,2\}$，$A\cup(\complement_U B)=\{1,2,3\}$。
    例2 (2)设$A=\{(x,y)|x + y=0\},B=\{(x,y)|x - y=0\}$，则$A\cap B=$
    $\{(0,0)\}$
    .
    答案：$\{(0,0)\}$
    解析：联立$\begin{cases}x + y=0\\x - y=0\end{cases}$，解得$x=0,y=0$，所以$A\cap B=\{(0,0)\}$。
    思考题2 (1)若$A=\{x|x = 2n,n\in\mathbb{N}^*\},B=\{x|x = 2n - 1,n\in\mathbb{N}^*\}$，则$A\cup B=$
    $\mathbb{N}^*$
    ，$A\cap B=$
    $\varnothing$
    .
    答案：$\mathbb{N}^*$；$\varnothing$
    解析：$A$是正偶数集，$B$是正奇数集，所以$A\cup B=\mathbb{N}^*$，$A\cap B=\varnothing$。
    思考题2 (2)设$A=\{x|-4\leq x ＜ 2\},B=\{x|-1 ＜ x\leq3\},C=\{x|x\leq0$或$x\geq\frac{5}{2}\}$，则$A\cup B=$
    $\{x|-4\leq x\leq3\}$
    ，$A\cup B\cup C=$
    $\mathbb{R}$
    .
    答案：$\{x|-4\leq x\leq3\}$；$\mathbb{R}$
    解析：$A\cup B=\{x|-4\leq x\leq3\}$，$C$包含$x\leq0$或$x\geq\frac{5}{2}$，所以$A\cup B\cup C=\mathbb{R}$。
    例 3 已知集合 $ A=\{x|x ＜ 2\},B = \{x|x ＜ a\} $
    (1)若 $ A\cap B=\varnothing $，求 $ a $ 的取值范围；
    (2)若 $ A\cup B=\mathbf{R} $，求 $ a $ 的取值范围；
    (3)若 $ A\cup B = A $，求 $ a $ 的取值范围；

    答案：1. 解：已知$A = \{ x|x\lt2\}$，$B=\{x|x\lt a\}$。（1）若$A\cap B=\varnothing$：根据交集的定义，$A\cap B=\varnothing$意味着两个集合没有公共元素。因为$A = \{ x|x\lt2\}$，$B=\{x|x\lt a\}$，要使$A\cap B=\varnothing$，则$a$要满足$a\leqslant2$不成立，所以$a\geqslant2$。（2）若$A\cup B = R$：根据并集的定义，$A\cup B = R$（$R$为实数集）。因为$A = \{ x|x\lt2\}$，$B=\{x|x\lt a\}$，要使$A\cup B = R$，则$a$要满足$a\geqslant2$不成立，所以$a\leqslant2$。综上，（1）$a$的取值范围是$a\geqslant2$；（2）$a$的取值范围是$a\leqslant2$。
    思考题3 设$A = \{ x|a\leqslant x\leqslant a + 3\}$，$B=$
    $\{ x|x\lt - 1$或$x\gt 5\}$，当$a$为何值时，
    (1)$A\cap B=\varnothing$；(2)$A\cap B\neq\varnothing$；(3)$A\cap B = A$。

    答案：
    1. （1）求$A\cap B = \varnothing$时$a$的取值：
    已知$A=\{x|a\leqslant x\leqslant a + 3\}$，$B=\{x|x\lt - 1或x\gt 5\}$。
    若$A\cap B=\varnothing$，则$\begin{cases}a\geqslant - 1\\a + 3\leqslant 5\end{cases}$。
    解不等式$a\geqslant - 1$；解不等式$a + 3\leqslant 5$，即$a\leqslant 5 - 3$，得$a\leqslant 2$。
    所以$-1\leqslant a\leqslant 2$。
    2. （2）求$A\cap B\neq\varnothing$时$a$的取值：
    $A\cap B\neq\varnothing$是$A\cap B = \varnothing$的反面情况。
    由（1）知$A\cap B = \varnothing$时$-1\leqslant a\leqslant 2$，所以$A\cap B\neq\varnothing$时$a\lt - 1$或$a\gt 2$。
    3. （3）求$A\cap B = A$时$a$的取值：
    因为$A\cap B = A$，所以$A\subseteq B$。
    则$a+3\lt - 1$或$a\gt 5$。
    解$a + 3\lt - 1$，得$a\lt - 1-3$，即$a\lt - 4$；$a\gt 5$。
    综上，（1）当$-1\leqslant a\leqslant 2$时，$A\cap B=\varnothing$；（2）当$a\lt - 1$或$a\gt 2$时，$A\cap B\neq\varnothing$；（3）当$a\lt - 4$或$a\gt 5$时，$A\cap B = A$。
    1. 已知$A=\{1,2,3,4\},B=\{2,3,4,5\}$，则$A\cup B=$（
    A
    ）
    A. $\{1,2,3,4,5\}$
    B. $\{2,3,4\}$
    C. $\{1,2,4\}$
    D. $\{2,3,5\}$
    答案：A
    解析：$A\cup B$取所有元素$\{1,2,3,4,5\}$，A正确。
    2. 设集合$M=\{1,2,4,8\},N=\{x|x$是2的倍数$\}$，则$M\cap N=$（
    C
    ）
    A. $\{2,4\}$
    B. $\{1,2,4\}$
    C. $\{2,4,8\}$
    D. $\{1,2,8\}$
    答案：C
    解析：$N$是偶数集，$M\cap N=\{2,4,8\}$，C正确。
    3. 已知集合$A=\{1,3,\sqrt{m}\},B=\{1,m\},A\cup B=A$，则$m=$（
    B
    ）
    A. 0或$\sqrt{3}$
    B. 0或3
    C. 1或$\sqrt{3}$
    D. 1或3
    答案：B
    解析：$A\cup B=A\Rightarrow B\subseteq A$，则$m=3$或$m=\sqrt{m}$，$m=\sqrt{m}$解得$m=0$或$m=1$（$m=1$时$A$不满足互异性，舍去），所以$m=0$或3，B正确。
    4. 若$A=\{x|x = 2k,k\in\mathbb{Z}\},B=\{x|x = 4k + 2,k\in\mathbb{Z}\}$，则$A\cap B=$
    $B$（或$\{x|x = 4k + 2,k\in\mathbb{Z}\}$）
    .
    答案：$B$（或$\{x|x = 4k + 2,k\in\mathbb{Z}\}$）
    解析：$A$是偶数集，$B$是被4除余2的数集，$B\subseteq A$，所以$A\cap B=B$。
    5. 下列四个推理：①$a\in A\cup B\Rightarrow a\in A$；②$a\in A\cap B\Rightarrow a\in A\cup B$；③$A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$；④$A\cup B=A\Rightarrow A\cap B=B$，其中正确的为
    ②③④
    .
    答案：②③④
    解析：①$a$可能在$B$不在$A$，错误；②$A\cap B\subseteq A\cup B$，正确；③④由集合性质知正确。