高考调研衡水重点中学新教材同步学案高中数学人教版新高考
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例2 用描述法表示下列集合.
(1)所有能被4整除的自然数；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)所有平行四边形组成的集合；
(4)不等式5x + 6 ＜ 0的解集.
答案：(1){x|x=4k，k∈N}
(2){(x，y)|x＞0且y＞0，x∈R，y∈R}
(3){x|x是平行四边形}
(4){x|x ＜ -6/5}
(1)能被4整除的自然数可表示为4k（k∈N），所以集合为{x|x=4k，k∈N}。
(2)第一象限的点的横、纵坐标均大于0，所以集合为{(x，y)|x＞0且y＞0，x∈R，y∈R}。
(3)所有平行四边形组成的集合可表示为{x|x是平行四边形}。
(4)解不等式5x + 6 ＜ 0得x ＜ -6/5，所以解集为{x|x ＜ -6/5}。
思考题2 (1)用描述法表示下列集合.
①所有正偶数的集合；
{x|x=2k，k∈N*}
②使$y = \frac{1}{x + 3}$有意义的实数x组成的集合；
{x|x≠-3，x∈R}
③由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
{x|10 ＜ x ＜ 20，x∈Z}
④{(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)}；
{(x，y)|x + y=3，x∈N，y∈N，0≤x≤3}
(2)【多选题】下列集合是无限集（集合中元素的个数无限）的是（
ABD
）
A.{x|x是能被3整除的数}
B.{x∈R|0 ＜ x ＜ 2}
C.{(x，y)|2x + y=5，x∈N，y∈N}
D.{x|x是面积为1的菱形}
答案：(1)①{x|x=2k，k∈N*}
②{x|x≠-3，x∈R}
③{x|10 ＜ x ＜ 20，x∈Z}
④{(x，y)|x + y=3，x∈N，y∈N，0≤x≤3}
(2)ABD
(1)①正偶数可表示为2k（k∈N*），所以集合为{x|x=2k，k∈N*}。
②要使$y = \frac{1}{x + 3}$有意义，分母不为0，即x + 3≠0，x≠-3，所以集合为{x|x≠-3，x∈R}。
③大于10且小于20的整数，所以集合为{x|10 ＜ x ＜ 20，x∈Z}。
④观察各点坐标，x + y=3，且x，y为非负整数，0≤x≤3，所以集合为{(x，y)|x + y=3，x∈N，y∈N，0≤x≤3}。
(2)A.能被3整除的数有无限个，是无限集；B.0 ＜ x ＜ 2的实数有无限个，是无限集；C.2x + y=5，x∈N，y∈N，解得x=0，y=5；x=1，y=3；x=2，y=1，共3个元素，是有限集；D.面积为1的菱形有无限个（底和高不同），是无限集。所以选ABD。
例3 用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集还是无限集.
(1)方程$(x + 1)(x - \frac{2}{3})(x^{2}-2)(x^{2}+1)=0$的有理根组成的集合A；
(2)被3除余1的自然数组成的集合；
(3)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；
(4)自然数的平方组成的集合.
答案：(1)A={-1，2/3}，有限集
(2){x|x=3k + 1，k∈N}，无限集
(3){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}，无限集
(4){x|x=k²，k∈N}，无限集
(1)方程的根为x=-1，x=2/3，x=√2，x=-√2，x=±i，有理根为-1，2/3，所以集合A={-1，2/3}，是有限集。
(2)被3除余1的自然数可表示为3k + 1（k∈N），所以集合为{x|x=3k + 1，k∈N}，是无限集。
(3)不在第一、三象限的点，即横纵坐标异号或至少有一个为0，xy≤0，所以集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}，是无限集。
(4)自然数的平方为0²，1²，2²，…，所以集合为{x|x=k²，k∈N}，是无限集。
思考题3 用适当的方法表示下列集合.
(1)由1～20以内的所有素数组成的集合；
(2)数轴上与原点的距离小于2的点的集合；
(3)平面直角坐标系内与两坐标轴的距离相等的点组成的集合.
答案：(1){2，3，5，7，11，13，17，19}，列举法，有限集
(2){x||x| ＜ 2，x∈R}，描述法，无限集
(3){(x，y)||x|=|y|，x∈R，y∈R}，描述法，无限集
(1)1～20以内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，用列举法表示为{2，3，5，7，11，13，17，19}。
(2)数轴上与原点距离小于2的点，即|x| ＜ 2，用描述法表示为{x||x| ＜ 2，x∈R}。
(3)平面直角坐标系内与两坐标轴距离相等的点，即|x|=|y|，用描述法表示为{(x，y)||x|=|y|，x∈R，y∈R}。
