学生基础性作业九年级数学人教版
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10. 已知抛物线$y = (x - m)^2 + m + 1$．
（1）若抛物线的顶点在第二象限，求m的取值范围．
（2）若$m = -2$，求以抛物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积．
答案：（1）顶点坐标为$(m, m + 1)$，
因为顶点在第二象限，所以$\begin{cases} m ＜ 0 \\ m + 1 ＞ 0 \end{cases}$，
解得$-1 ＜ m ＜ 0$。
（2）当$m = -2$时，抛物线为$y = (x + 2)^2 - 1$。
与x轴交点：令$y = 0$，$(x + 2)^2 - 1 = 0$，$x + 2 = \pm 1$，$x_1 = -1$，$x_2 = -3$，交点为$(-1, 0)$，$(-3, 0)$。
与y轴交点：令$x = 0$，$y = 4 - 1 = 3$，交点为$(0, 3)$。
三角形底为$|-1 - (-3)| = 2$，高为3，面积$\frac{1}{2}×2×3 = 3$。
答：面积为3。
11. 如图，某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为$(-1.5, -10)$．运动员（看作一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为$(1, 2.5)$．正常情况下，运动员在距水面高度5 m以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求入水处点B的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5 m，该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且$EM = 10.5$m，$EN = 13.5$m，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为$y = a(x - h)^2 + k$，且顶点C距水面4 m，若该运动员出水点D在M，N之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
答案：（1）设抛物线解析式为$y = a(x - 1)^2 + 2.5$，
将$O(0, 0)$代入，$0 = a(0 - 1)^2 + 2.5$，$a = -2.5$，
解析式为$y = -2.5(x - 1)^2 + 2.5$。
入水时$y = -10$，$-10 = -2.5(x - 1)^2 + 2.5$，
$(x - 1)^2 = 5$，$x - 1 = \pm \sqrt{5}$，$x = 1 + \sqrt{5}$（舍去负值），
$B(1 + \sqrt{5}, -10)$。
（2）点E的坐标为$(-1.5, -10)$，水平距离5 m，
若在E右侧，$x = -1.5 + 5 = 3.5$，
$y = -2.5(3.5 - 1)^2 + 2.5 = -2.5×6.25 + 2.5 = -15.625 + 2.5 = -13.125$，
距水面高度为$-10 - (-13.125) = 3.125 ＜ 5$，会失误。
（3）$\frac{1}{8} \leq a \leq \frac{4}{25}$
