学生基础性作业九年级数学人教版
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11.（1）阅读材料
我们学过一元一次方程、二元（三元）一次方程组、一元二次方程、分式方程，它们的解法不尽相同，但都有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知. 例如，一元三次方程$x^{3}-6x^{2}+8x=0$可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}-6x+8)=0$，解方程$x=0$和$x^{2}-6x+8=0$即可得到方程$x^{3}-6x^{2}+8x=0$的解.
（2）直接应用
方程$x^{3}-6x^{2}+8x=0$的解是$x_{1}=0$，$x_{2}=$______，$x_{3}=$______.
（3）类比迁移
解方程：$\sqrt {x+2}=x.$
（4）问题解决
如图，已知矩形草坪ABCD的长$AD=8m$，宽$AB=3m$，小华把一根长为10m的绳子一端固定在点B处，沿草坪边BA，AP走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好到达点C处. 求AP的长.
答案：（2）2，4
解析：$x^{3}-6x^{2}+8x=0$，$x(x-2)(x-4)=0$，解得$x=0$，$2$，$4$。
（3）两边平方得$x+2=x^{2}$，$x^{2}-x-2=0$，$(x-2)(x+1)=0$，解得$x=2$或$-1$。经检验$x=-1$是增根，原方程解为$x=2$。
（4）设$AP=xm$，则$PD=(8-x)m$，$BP=\sqrt {3^{2}+x^{2}}$，$PC=\sqrt {(8-x)^{2}+3^{2}}$。由$BP+PC=10$，得$\sqrt {x^{2}+9}+\sqrt {(8-x)^{2}+9}=10$。设$\sqrt {x^{2}+9}=m$，$\sqrt {(8-x)^{2}+9}=n$，$m+n=10$，$m^{2}-n^{2}=16x-64$，$(m-n)(m+n)=16x-64$，$m-n=\frac {16x-64}{10}=\frac {8x-32}{5}$。联立$\left\{\begin{array}{l} m+n=10\\ m-n=\frac {8x-32}{5}\end{array}\right.$，解得$m=\frac {4x+9}{5}$。则$\sqrt {x^{2}+9}=\frac {4x+9}{5}$，平方得$x^{2}+9=\frac {16x^{2}+72x+81}{25}$，$25x^{2}+225=16x^{2}+72x+81$，$9x^{2}-72x+144=0$，$x^{2}-8x+16=0$，$(x-4)^{2}=0$，解得$x=4$。故AP的长为4m。
