21．(本小题满分14分)

　　设数列、、满足：，(n=1,2,3,…)，

　　证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…)

[考点分析：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力]

[证明]必要性：设数列是公差为的等差数列，则：

==-=0，

∴(n=1,2,3,…)成立；

又=6(常数)(n=1,2,3,…)

∴数列为等差数列。

充分性：设数列是公差为的等差数列，且(n=1,2,3,…)，

∵……①　　　 ∴……②

①－②得：=

∵

∴……③　 从而有……④

④－③得：……⑤

∵，，，

∴由⑤得：(n=1,2,3,…)，

由此，不妨设(n=1,2,3,…)，则(常数)

故……⑥

从而……⑦

⑦－⑥得：，

故(常数)(n=1,2,3,…)，

∴数列为等差数列。

综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…)。

20．(本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分)

　　设a为实数，记函数的最大值为g(a)。

　　(Ⅰ)设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

(Ⅱ)求g(a)

(Ⅲ)试求满足的所有实数a

[考点分析：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力]

[解](I)∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①　　 ∴的取值范围是。

由①得：，∴，。

(II)由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

(2)当时，，，有=2；

(3)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，。

综上所述，有=。

(III)当时，；

　　　 当时，，，∴，

，故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，。

综上所述，满足的所有实数a为：或。

19．(本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分)

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P(如图2)

(Ⅰ)求证：A₁E⊥平面BEP；

(Ⅱ)求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角B－A₁P－F的大小(用反三角函数表示)

[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力]

[解]不妨设正三角形的边长为3，则

(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。

在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁－EF－B的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE。

又BEEF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP。

(II)在图2中，∵A₁E不垂直于A₁B，∴A₁E是面A₁BP的斜线，又A₁E⊥面BEP，∴A₁E⊥BP，∴BP垂直于A₁E在面A₁BP内的射影(三垂线定理的逆定理)

设A₁E在面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于Q，

则∠EA₁Q就是A₁E与面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q。

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60^o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。

又A₁E⊥面BEP，∴A₁B=A₁P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A₁E=1，

∴在Rt△A₁EQ中，，即直线A₁E与面A₁BP所成角为60^o。

(III)在图3中，过F作FM于M，连结QM、QF。

∵CF=CP=1，∠C=60^o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，

又PQ=BP=1，∴PF=PQ……①

∵A₁E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A₁F=A₁Q，

∴△A₁FP△A₁QP，故∠A₁PF=∠A₁PQ……②

由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，故∠QMP=∠FMP=90o，且MF=MQ，

∴∠FMQ为二面角B－A₁P－F的一个平面角。

在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，∴A₁P=，

∵MQ⊥A₁P，∴MQ=，∴MF=。

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60^o，由余弦定理得QF=，

在△FMQ中，，

∴二面角B－A₁P－F的的大小为。

[注]此题还可以用向量法来解。(略)

18．(本小题满分14分)

请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六

棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右

图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离

为多少时，帐篷的体积最大？

[考点分析：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力]

解：设，则。

由题设可得正六棱锥底面边长为：，(单位：)

故底面正六边形的面积为：=，(单位：)

帐篷的体积为：

(单位：)

求导得。

令，解得(不合题意，舍去)或。

当时，，为增函数；

当时，，为减函数。

∴当时，最大。

答：当时，帐篷的体积最大，最大体积为。

17．(本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分)

已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)。

(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

[考点分析：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力]

[解](I)由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。

，　　 ∴，

，故所求椭圆的标准方程为+；

(II)点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)关于直线y＝x的对称点分别为：

、(0，-6)、(0，6)

设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，

，　　 ∴，

，故所求双曲线的标准方程为-。

(11)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　▲　

解：利用正弦定理

点评：本题主要考查正弦定理的应用

(12)设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　▲　

解：根据线性约束条件画出可行域(图略)，显然在(3，4)处取得最大值18

点评：本题主要考查线性规划的基础知识。

(13)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　▲　种不同的方法(用数字作答)。

解：由题意，

点评：本题主要考查不全相异元素的全排列

(14)＝　▲　

解

点评：本题主要考查三角函数的画简与求值

(15)对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　▲　

解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和

点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。

(16)不等式的解集为　▲　

解：

综上：

点评：本题主要考查对数不等式的解法

(1)已知，函数为奇函数，则a＝

(A)0　　(B)1　　(C)－1　　(D)±1

解：法一：由函数是定义域为R的奇函数，则， 即，则a＝0，选A

法二：得：，则a＝0，选A

点评：主要考查奇函数的定义和性质

(2)圆的切线方程中有一个是

(A)x－y＝0　　(B)x+y＝0　　(C)x＝0　　(D)y＝0

解：圆心为(1，)，半径为1，故此圆必与y轴(x=0)相切，选C

　点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系

(3)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

(A)1　　(B)2　　　(C)3　　　(D)4

解： 由平均数公式为10，得则；又由于方差为2，则得，所以有，故选(D)

点评：本题主要考查平均数与方差的定义等统计方面的基础知识

(4)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点

(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)

(B)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)

(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

(D)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

解：根据三角函数的图像变换法则易得：把向左平移个单位长度得，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)故选(C)

点评：本题主要考查形如的三角函数图像的变换

(5)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是

(A)0　　　(B)2　　　(C)4　　　(D)6

解：展开式通项为，若展开式中含x的正整数指数幂，即所以，选(B)

点评：本题主要考查二项式定理的相关知识

(6)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由题意　　

，所以有

即：，故选(B)

点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法

(7)若A、B、C为三个集合，，则一定有

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由知，，故选(A)

点评：本题主要考查集合间关系的运算

(8)设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是

(A)　　(B)

(C)　　　(D)

解：因为，所以(A)恒成立；

在(B)两侧同时乘以得

所以(B)恒成立；

(C)中，当a>b时，恒成立，a<b时，不成立；

(D)中，分子有理化得恒成立，故选(C)

点评：本题主要考查不等式的相关知识

(C)3个　　　(D)无穷多个

解：法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是

点评：本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型，并不是以计算为主

(10)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

(A)　　　(B)

(C)　　　(D)

解：由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，故选(D)

点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题。

21. (本小题满分14分)

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

20. (本小题满分14分)

对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

19. (本小题满分14分)

已知函数,数列{}满足:

证明:(ⅰ);(ⅱ).